"N차원 공의 부피"의 두 판 사이의 차이

2008년 10월 26일 (일) 14:42 판

반지름 r인 n차원 공이란, n차원에서 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
- \(x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ r^2\)
- 1차원 공= [-r,r]
- 2차원 공 = 반지름 r인 원판
1차원 공의 부피는 \(2r\).
2차원 공의 부피는 \(\pi r^2\).
3차원 공의 부피는 \(\frac{4}{3}\pi r^3\).
...
n차원 공의 부피는 얼마가 될까?
n이 짝수일 때는, \(\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}\)
n이 홀수일 때는, \(\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}\)
\(\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n\)

Gamma Function Derivation of n-Sphere Volumes
- Greg Huber
- The American Mathematical Monthly, Vol. 89, No. 5 (May, 1982), pp. 301-302

Volume of an n-Dimensional Sphere
- H. P. Evans
- The American Mathematical Monthly, Vol. 54, No. 10, Part 1 (Dec., 1947), pp. 592-594

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 * 3차원 공의 부피는 <math>\frac{4}{3}\pi r^3</math>.
 * ...
-*  n차원 공의 부피는 얼마가 될까? 답은<br><math>\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n</math><br>
+* n차원 공의 부피는 얼마가 될까?
-*   <br> n 이 짝수일때는, <math>\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}</math><br>
+* n이 짝수일 때는, <math>\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}</math>
-*   <br>
+* n이 홀수일 때는, <math>\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}</math>
+* <math>\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n</math>
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