N차원 공의 부피

간단한 소개

• 반지름 r인 n차원 공이란, n차원에서 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
  
  • \(x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ r^2\)
  • 1차원 공= [-r,r]
  • 2차원 공 = 반지름 r인 원판
• 1차원 공의 부피는 \(2r\).
• 2차원 공의 부피는 \(\pi r^2\).
• 3차원 공의 부피는 \(\frac{4}{3}\pi r^3\).
• ...
• n차원 공의 부피는 얼마가 될까? 
  
  • n이 짝수일 때는, \(\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}\)
  • n이 홀수일 때는, \(\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}\)
  • 일반적으로는 다음 식으로 표현할 수 있다.
    \(\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n\)
    

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 다변수미적분학
• Special functions
  
  • #

 

 

 

 

 

 

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere

 

참고할만한 자료

• Gamma Function Derivation of n-Sphere Volumes
  
  • Greg Huber
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 89, No. 5 (May, 1982), pp. 301-302

• Volume of an n-Dimensional Sphere
  
  • H. P. Evans
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 54, No. 10, Part 1 (Dec., 1947), pp. 592-594