"N차원 공의 부피"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
13번째 줄: 13번째 줄:
 
** 1차원 공= [-r,r]
 
** 1차원 공= [-r,r]
 
** 2차원 공 = 반지름 r인 원판
 
** 2차원 공 = 반지름 r인 원판
−
* 1차원 공의 부피는 <math>2r</math>.
+
* 1차원 공의 부피는 <math>2r</math>
 
* 2차원 공의 부피는 <math>\pi r^2</math>.
 
* 2차원 공의 부피는 <math>\pi r^2</math>.
−
* 3차원 공의 부피는 <math>\frac{4}{3}\pi r^3</math>.
+
* 3차원 공의 부피는 <math>\frac{4}{3}\pi r^3</math>.
 
* ...
 
* ...
 
*  n차원 공의 부피는 얼마가 될까? <br>
 
*  n차원 공의 부피는 얼마가 될까? <br>
−
** n이 짝수일 때는, <math>\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}</math>
+
** n이 짝수일 때는, <math>\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}</math>
−
** n이 홀수일 때는, <math>\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}</math>
+
** n이 홀수일 때는, <math>\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}</math>
−
**  일반적으로는 다음 식으로 표현할 수 있다.<br><math>\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n</math><br>
+
**  일반적으로는 다음 식으로 표현할 수 있다<br><math>\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n</math><br>
  
 
 
 
 
33번째 줄: 33번째 줄:
  
 
<h5>공식의 유도</h5>
 
<h5>공식의 유도</h5>
 +
 +
* 반지름 1인 n-차원 공의 부피를 <math>\omega_{n}</math> 라 두자
  
 
 
 
 

2011년 11월 10일 (목) 03:40 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

 

개요
  • 반지름 r인 n차원 공(n-ball)이란, n차원 유클리드 공간에서 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
    • \(x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ r^2\)
    • 1차원 공= [-r,r]
    • 2차원 공 = 반지름 r인 원판
  • 1차원 공의 부피는 \(2r\)
  • 2차원 공의 부피는 \(\pi r^2\).
  • 3차원 공의 부피는 \(\frac{4}{3}\pi r^3\).
  • ...
  • n차원 공의 부피는 얼마가 될까? 
    • n이 짝수일 때는, \(\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}\)
    • n이 홀수일 때는, \(\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}\)
    • 일반적으로는 다음 식으로 표현할 수 있다
      \(\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n\)

 

\(2,\pi ,\frac{4 \pi }{3},\frac{\pi ^2}{2},\frac{8 \pi ^2}{15},\frac{\pi ^3}{6},\frac{16 \pi ^3}{105},\frac{\pi ^4}{24},\frac{32 \pi ^4}{945},\frac{\pi ^5}{120}, \cdots\)

 

 

 

공식의 유도
  • 반지름 1인 n-차원 공의 부피를 \(\omega_{n}\) 라 두자

 

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

 

사전형태의 자료

 

 

관련논문
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=N차원_공의_부피&oldid=2465"