"이항계수의 반전공식"의 두 판 사이의 차이

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* <math>k=0,1,\cdots, n</math> 에 대하여, <math>a_0,\cdots,a_n</math> 과 <math>b_0,\cdots,b_n</math> 이 다음 관계를 만족시킨다고 하자.<br><math>a_k=\sum_{i=0}^{k}{k\choose i}b_i</math><br> 그러면<br><math>b_k=\sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{k\choose i}a_i</math> 가 성립한다.<br>
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* <math>k=0,1,\cdots, n</math> 에 대하여, <math>a_0,\cdots,a_n</math> 과 <math>b_0,\cdots,b_n</math> 이 다음 관계를 만족시킨다고 하자.:<math>a_k=\sum_{i=0}^{k}{k\choose i}b_i</math><br> 그러면:<math>b_k=\sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{k\choose i}a_i</math> 가 성립한다.<br>
 
*  원소의 개수가 n인 집합 E의 부분집합들이 이루는 poset 에 대해 [[뫼비우스 반전공식]] 을 적용한 것으로 이해할 수 있다<br>
 
*  원소의 개수가 n인 집합 E의 부분집합들이 이루는 poset 에 대해 [[뫼비우스 반전공식]] 을 적용한 것으로 이해할 수 있다<br>
 
**  이 때 뫼비우스 함수는 <math>\mu(S,T)=(-1)^{\left|T\setminus S\right|}</math> 으로 주어진다<br>
 
**  이 때 뫼비우스 함수는 <math>\mu(S,T)=(-1)^{\left|T\setminus S\right|}</math> 으로 주어진다<br>
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==행렬을 통한 이해==
 
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*  n=5 인 경우<br><math>\left( \begin{array}{cccccc}  1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\  1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\  1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0 \\  1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{array} \right)</math> 의 역행렬은<br><math>\left( \begin{array}{cccccc}  1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\  -1 & 3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0 \\  -1 & 5 & -10 & 10 & -5 & 1 \end{array} \right)</math> 이다.<br>
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*  n=5 인 경우:<math>\left( \begin{array}{cccccc}  1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\  1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\  1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0 \\  1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{array} \right)</math> 의 역행렬은:<math>\left( \begin{array}{cccccc}  1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\  -1 & 3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\  1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0 \\  -1 & 5 & -10 & 10 & -5 & 1 \end{array} \right)</math> 이다.<br>
  
 
 
 
 

2013년 1월 12일 (토) 10:13 판

이 항목의 수학노트 원문주소

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개요

  • \(k=0,1,\cdots, n\) 에 대하여, \(a_0,\cdots,a_n\) 과 \(b_0,\cdots,b_n\) 이 다음 관계를 만족시킨다고 하자.\[a_k=\sum_{i=0}^{k}{k\choose i}b_i\]
    그러면\[b_k=\sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{k\choose i}a_i\] 가 성립한다.
  • 원소의 개수가 n인 집합 E의 부분집합들이 이루는 poset 에 대해 뫼비우스 반전공식 을 적용한 것으로 이해할 수 있다
    • 이 때 뫼비우스 함수는 \(\mu(S,T)=(-1)^{\left|T\setminus S\right|}\) 으로 주어진다

 

 

 

행렬을 통한 이해

  • n=5 인 경우\[\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{array} \right)\] 의 역행렬은\[\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0 \\ -1 & 5 & -10 & 10 & -5 & 1 \end{array} \right)\] 이다.

 

 

\(\sum_{k=m}^n (-1)^{k-m} \binom{k}{m} \binom{n}{k} = \delta_{mn}\)

 

 

 

역사

 

 

 

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