가우스-보네 정리

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• 가우스-보네 정리

 

 

개요

• 곡면의 기하학적 성질과 위상적인 성질을 연결해 주는 정리.
• 학부 미분기하학의 가장 중요한 정리중 하나임.

 

 

국소적 가우스-보네 정리

• [1] :곡면상의 영역, [2] : 가우스 곡률, [3] : 꼭지점에서의 angle jump, [4] : 곡선의 측지곡률

\(\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds\)

• 둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 [5] 의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음

\(\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\)

 

대역적 가우스-보네 정리

• [6] : 유향 컴팩트 곡면, [7] : 곡면의 오일러 특성수

\(\int_M K dA= 2\pi\chi(M)\)

 

 

• 대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능

 

(증명)

먼저 곡면을 측지다각형으로 분해하여, 각 다각형 [8] 에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용

\(\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\)

각 다각형에 대한 결과를 모두 더하면,

\(\int_M K dA = 2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} (\pi - \text{internal angle at }v)\)

\(=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F}\pi - \sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} \text{internal angle at }v\)

 

[9]

[10]

[11]  (각각의 모서리는 두 번씩 세어짐)

\(2\pi\chi(M)\)

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 미분기하학

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 볼록다면체에 대한 데카르트 정리
  
  • 증명의 유사성을 눈여겨 볼 것.
• 다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2

 

관련도서

• http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Gauss-Bonnet_theorem
•  

참고할만한 자료

• The many faces of Gauss-Bonnet
• http://mathoverflow.net/questions/84521/a-question-on-generalized-gauss-bonnet-theorem