"스펙트럼 제타 함수"의 두 판 사이의 차이
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2013년 2월 1일 (금) 14:25 판
개요
- 컴팩트 smooth 리만 다양체 $M$ 에 정의된 라플라시안(Laplacian) $\Delta$의 스펙트럼을 이해하기 위한 해석적 도구
- $-\Delta$ 는 positive이고, 스펙트럼은 다음과 같이 주어짐
$$0=\lambda_0<\lambda_1<\lambda_2<\cdots, \lim_{j\to \infty}\lambda_j=\infty$$
- $n_j$를 $\lambda_j$의 고유벡터의 차원이라 하면, 스펙트럼 제타함수는 다음과 같이 정의
$$ \zeta_M(s)=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{n_j}{\lambda_j^s} $$
- $j\to \infty$일 때, $\lambda_{j}\sim j^{2/\dim M}$ 이므로, $\Re s>\frac{1}{2}\dim M$에서 수렴
- 전체 복소평면으로 meromorphic 확장
라플라시안의 행렬식
- $\det -\Delta=\prod_{j=1}^{\infty}\lambda_j^{n_j}:=e^{-\zeta'_M(0)}$
관련된 항목들
수학용어번역
- spectral - 대한수학회 수학용어집
관련논문
- Minakshisundaram, S.,å. Pleijel. 1949. “Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-Operator on Riemannian manifolds”. Canadian Journal of Mathematics 1 (3) (6월 1): 242–256. doi:10.4153/CJM-1949-021-5.