"안장점 근사"의 두 판 사이의 차이

2013년 2월 10일 (일) 16:04 판

복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나
복소함수 $f(z)$에 대하여 $f'\left(z_0\right)=0$인 $z=z_0$를 안장점이라 하며, 안장점 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다 \[f(z)=f\left(z_0\right)+\frac{1}{2}f''\left(z_0\right)\left(z-z_0\right){}^2+\cdots\]
최대값 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다

\[f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2\]

\[\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty\]

$N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx$ 에서 $x=Nz$ 로 치환하면,

$N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz$

$f \left( z \right) = \ln{z}-z$

$f'(z) = \frac{1}{z}-1$

$f''(z) = -\frac{1}{z^2}$

$z_ 0=1$ 일 때, 최대값을 가지며, $f (z)\approx -1-\frac{1}{2} (z-1)^2+O[z-1]^3$ 가 된다.

따라서

$N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N (z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}$

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 * 복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나
-* 안장점<br> 복소함수 <math>f(z)</math>에 대하여 <math>f'\left(z_0\right)=0</math>인 <math>z=z_0</math>를 안장점이라 하며, 안장점 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다 :<math>f(z)=f\left(z_0\right)+\frac{1}{2}f''\left(z_0\right)\left(z-z_0\right){}^2+\cdots</math> 이므로 [[가우시안 적분]]으로 근사된다.
+* 복소함수 <math>f(z)</math>에 대하여 <math>f'\left(z_0\right)=0</math>인 <math>z=z_0</math>를 '''안장점'''이라 하며, 안장점 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다 :<math>f(z)=f\left(z_0\right)+\frac{1}{2}f''\left(z_0\right)\left(z-z_0\right){}^2+\cdots</math>
-*  일반적으로 N이 클 때, 다음과 같은 근사식이 성립한다:<math>\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty</math><br> 최대값 부근에서의 테일러 전개 <math>f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2</math>를 이용<br>
+* 최대값 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다
+:<math>f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2</math>
+* 일반적으로 N이 클 때, $\int e^{Nf(x)}\,dx$는 [[가우시안 적분]]으로 근사되며, 다음과 같은 근사식을 얻는다
+:<math>\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty</math>
 ==예1==