테일러 전개 문제2

테일러 전개 문제에서 얘기했던 테일러 전개 문제를 조금 다르게 써보려 합니다. 한 번 미분한 항까지만 좀더 일반적으로 써봅니다.

(식1)

\(f(X(x;\epsilon))= f(X(x;0)) + [X(x;\epsilon)-X(x;0)]\frac{df(X(x;\epsilon))}{dX}\Big|_{\epsilon=0}+ \cdots\)

(식2)

\(f(X(x;\epsilon))= f(X(x;0)) + [X(x;\epsilon)-X(x;0)]\frac{df(X(x;\epsilon))}{dx}\Big|_{\epsilon=0}+ \cdots\)

문제는 f를 한 번 미분할 때 식1처럼 X로 미분하느냐 식2처럼 x로 미분하느냐입니다. 사실 테일러 전개를 하는 대개의 경우 X(x)는 "x + 매우 작은 어떤 수(또는 함수)" 꼴이므로 '매우 작은 어떤 수'가 상수라면 위 두 식의 결과는 같아집니다. 그런데 그렇지 않은 경우가 문제가 되는 거지요. 위 식에서는 ε이 상수인 것처럼 썼는데 앞글의 예처럼 x의 함수일 수도 있습니다. 여튼 일반적인 X(x)에 대해서 보면 식1이 옳은 방법으로 보입니다. 미분의 '격'이 맞아 보인다는 거죠;;

간단한 예를 들어보겠습니다.

\(f(x)=e^x,\ X(x;\epsilon)=x+\epsilon(x)\)

식1을 이용하여 전개한 결과와 식2를 이용하여 전개한 결과(이건 앞글에서 한 방식이죠)가 다릅니다.

\(e^{x+\epsilon(x)}=e^x\left[1+\epsilon(x)+\frac{1}{2}\epsilon(x)^2+\cdots\right]\)

\( \begin{aligned} e^{x+\epsilon(x)}&=&e^x\Big[1+\epsilon(x)(1+\epsilon'(x))_{\epsilon(x)=0}\\ {}&{}&+\frac{1}{2}\epsilon(x)^2[(1+\epsilon'(x))^2+\epsilon''(x)]_{\epsilon(x)=0}+\cdots\Big] \end{aligned} \)

여기서도 식1로 전개하는 게 옳은 방법으로 보입니다. 이 문제가 해결되었다면, 변수 2개짜리 문제도 문제 없이 진도를 나갈 수 있습니다. 아래 왼쪽을 어떻게 전개할까가 원래 저의 문제였습니다. 이것도 일반적인 형태로 아래 오른쪽과 같이 쓰겠습니다.

\(f(x+\epsilon x/y,y+\delta)\to f(X(x,y;\epsilon),Y(x,y;\delta))\)

이걸 X로 한 번, Y로 한 번 미분해야 하는데 미분하는 순서에 따라 결과가 달라집니다.

\(\delta\frac{\partial}{\partial Y}\left[ \frac{\epsilon x}{y} \frac{\partial}{\partial X} f(X,Y)\Big|_{\epsilon=0} \right]_{\delta=0},\ \frac{\epsilon x}{y} \frac{\partial}{\partial X}\left[ \delta\frac{\partial}{\partial Y} f(X,Y)\Big|_{\delta=0} \right]_{\epsilon=0}\)

미분한 후에 각각 ε과 δ를 0으로 놓으면 X는 x가 되고 Y는 y가 되므로, 두 결과는 다릅니다. 두 결과가 같아야 한다는 보장은 없으므로 그럴 수도 있겠다 싶은데 여전히 확신하기 힘드네요.