"Q-감마함수"의 두 판 사이의 차이

2011년 6월 30일 (목) 06:28 판

\(\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}\)

자연수 n에 대하여, \(z=n+1\) 일 때,

\(\Gamma_q(n+1)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{n+1};q)_{\infty}}(1-q)^{-n}= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=[n]_q!\)

감마함수가 팩토리얼의 확장이므로 q-팩토리얼의 정의를 이용하자
\([n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}\)
q-Pochhammer 기호 를 사용하여 더 일반적인 경우의 n 에 대하여 쓸 수 있다
\([n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}= \frac{(q;q)_{\infty}}{(1-q)^n(q^{n+1};q)_{\infty}}\)
캐츠(Kac) 기호 를 써서 표현하면,
\([n]_q!=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q)^n(1-q^{n+1})_q^{\infty}}\)
위의 식은 \(n\)이 반드시 자연수가 아니어도 성립하므로, q-감마함수를 다음과 같이 정의할 수 있다
\(\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}\)
\(\Gamma_q(z)= \frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q^{z})_q^{\infty}}(1-q)^{1-z}\)
\(\Gamma_q(z) = (1-q)^{1-z}\prod_{n=0}^\infty \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{z+n}}. \)

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 <math>\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}</math>
+자연수 n에 대하여, <math>z=n+1</math> 일 때,
+<math>\Gamma_q(n+1)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{n+1};q)_{\infty}}(1-q)^{-n}= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=[n]_q!</math>
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 * [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]<br>
+*   <br>
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 <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
-* [http://projecteuclid.org/euclid.rmjm/1250127592 The Q-analogue of Stirling's formula]<br>
+*  Moak, Daniel S. 1984. “The $q$-analogue of Stirling’s formula”. <em>The Rocky Mountain Journal of Mathematics</em> 14 (2): 403–413. doi:10.1216/RMJ-1984-14-2-403.<br>
-** Daniel S. Moak Rocky Mountain J. Math. Volume 14, Number 2 (1984), 403-414.
 * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 * http://dx.doi.org/