"Q-감마함수"의 두 판 사이의 차이

2012년 11월 2일 (금) 07:47 판

\(\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}\)

자연수 n에 대하여, \(z=n+1\) 일 때,

\(\Gamma_q(n+1)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{n+1};q)_{\infty}}(1-q)^{-n}= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=[n]_q!\)

감마함수가 팩토리얼의 확장이므로 q-팩토리얼의 정의를 이용하자
\([n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}\)
q-Pochhammer 기호 를 사용하여 더 일반적인 경우의 n 에 대하여 쓸 수 있다
\([n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}= \frac{(q;q)_{\infty}}{(1-q)^n(q^{n+1};q)_{\infty}}\)
캐츠(Kac) 기호 를 써서 표현하면,
\([n]_q!=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q)^n(1-q^{n+1})_q^{\infty}}\)
위의 식은 \(n\)이 반드시 자연수가 아니어도 성립하므로, q-감마함수를 다음과 같이 정의할 수 있다
\(\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}\)
\(\Gamma_q(z)= \frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q^{z})_q^{\infty}}(1-q)^{1-z}\)
\(\Gamma_q(z) = (1-q)^{1-z}\prod_{n=0}^\infty \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{z+n}}. \)

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