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*  감마함수가 팩토리얼의 확장이므로 [[q-팩토리얼]]의 정의를 이용하자<br><math>[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}</math><br>
 
*  감마함수가 팩토리얼의 확장이므로 [[q-팩토리얼]]의 정의를 이용하자<br><math>[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}</math><br>
 
* [[q-Pochhammer 기호]] 를 사용하여 더 일반적인 경우의 n 에 대하여 쓸 수 있다<br><math>[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}= \frac{(q;q)_{\infty}}{(1-q)^n(q^{n+1};q)_{\infty}}</math><br>[[Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호|캐츠(Kac) 기호]] 를 써서 표현하면,<br><math>[n]_q!=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q)^n(1-q^{n+1})_q^{\infty}}</math><br>
 
* [[q-Pochhammer 기호]] 를 사용하여 더 일반적인 경우의 n 에 대하여 쓸 수 있다<br><math>[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}= \frac{(q;q)_{\infty}}{(1-q)^n(q^{n+1};q)_{\infty}}</math><br>[[Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호|캐츠(Kac) 기호]] 를 써서 표현하면,<br><math>[n]_q!=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q)^n(1-q^{n+1})_q^{\infty}}</math><br>
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*  위의 식은 <math>n</math>이 반드시 자연수가 아니어도 성립하므로, q-감마함수를 다음과 같이 정의할 수 있다<br><math>\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}</math><br><math>\Gamma_q(z)= \frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q^{z})_q^{\infty}}(1-q)^{1-z}</math><br><math>\Gamma_q(z) = (1-q)^{1-z}\prod_{n=0}^\infty  \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{z+n}}. </math><br>
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*  위의 식은 <math>n</math>이 반드시 자연수가 아니어도 성립하므로, q-감마함수를 다음과 같이 정의할 수 있다  
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:<math>\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}</math>
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:<math>\Gamma_q(z)= \frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q^{z})_q^{\infty}}(1-q)^{1-z}</math>
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:<math>\Gamma_q(z) = (1-q)^{1-z}\prod_{n=0}^\infty  \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{z+n}}. </math><br>
  
 
 
 
 
  
 
 
 
 
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==잭슨 적분과 q-감마함수==
 
==잭슨 적분과 q-감마함수==
 
* http://www.stephenoney.com/papers/JacksonIntegral.pdf
 
* http://www.stephenoney.com/papers/JacksonIntegral.pdf

2012년 11월 20일 (화) 19:25 판

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개요

 

 

정의

  • q-감마함수를 다음과 같이 정의

\[\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}\]

  • 자연수 n에 대하여, \(z=n+1\) 일 때,

\[\Gamma_q(n+1)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{n+1};q)_{\infty}}(1-q)^{-n}= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=[n]_q!\]

 

 

정의를 이렇게 하는 이유

  • 감마함수가 팩토리얼의 확장이므로 q-팩토리얼의 정의를 이용하자
    \([n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}\)
  • q-Pochhammer 기호 를 사용하여 더 일반적인 경우의 n 에 대하여 쓸 수 있다
    \([n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}= \frac{(q;q)_{\infty}}{(1-q)^n(q^{n+1};q)_{\infty}}\)
    캐츠(Kac) 기호 를 써서 표현하면,
    \([n]_q!=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q)^n(1-q^{n+1})_q^{\infty}}\)
  • 위의 식은 \(n\)이 반드시 자연수가 아니어도 성립하므로, q-감마함수를 다음과 같이 정의할 수 있다

\[\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}\] \[\Gamma_q(z)= \frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q^{z})_q^{\infty}}(1-q)^{1-z}\] \[\Gamma_q(z) = (1-q)^{1-z}\prod_{n=0}^\infty \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{z+n}}. \]

 

 

잭슨 적분과 q-감마함수

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