이차형식 x^2+5y^2

개요

• \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\)
• 판별식 d=-20
• class number h=2
  
  • 기약형식 \({x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}\)
• 타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)\[ j(\sqrt{-5})=632000+282880 \sqrt{5}=(50+26\sqrt{5})^3\]\[j(\frac {-1+\sqrt{-5}}{2})=632000-282880 \sqrt{5}=(50-26\sqrt{5})^3\]
  
• 힐버트 class field \(K(\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{-5},\sqrt{5})\)

 

 

 

\(x^2+5y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

• 5, 29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389
  

 

 

20으로 나눈 나머지가 1이나 9인 400까지의 소수

• 29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389
  

 

 

 

\(x^2+2 x y+3 y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

• 2, 3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383
  

 

 

20으로 나눈 나머지가 3이나 7인 400까지의 소수

• 3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383
  

 

 

\(x^2-5 \pmod p\) 의 분해

• 20으로 나눈 나머지가 1,3,7,9인 소수 p에 대한 \(x^2-5 \pmod p\)의 분해
• 나머지가 1 또는 9인 경우에만 일차식으로 분해됨을 볼 수 있음
• class field theory에 의해 예측할 수 있는 사실
• 다음 목록은 "소수p, p를 20으로 나눈 나머지, 다항식 x^2-5의 mod p분해"

 

3=3 mod 20, x^2-5=1+x^2 mod 3
7=7 mod 20, x^2-5=2+x^2 mod 7
23=3 mod 20, x^2-5=18+x^2 mod 23
29=9 mod 20, x^2-5=(11+x)(18+x) mod 29
41=1 mod 20, x^2-5=(13+x)(28+x) mod 41
43=3 mod 20, x^2-5=38+x^2 mod 43
47=7 mod 20, x^2-5=42+x^2 mod 47
61=1 mod 20, x^2-5=(26+x)(35+x) mod 61
67=7 mod 20, x^2-5=62+x^2 mod 67
83=3 mod 20, x^2-5=78+x^2 mod 83
89=9 mod 20, x^2-5=(19+x)(70+x) mod 89
101=1 mod 20, x^2-5=(45+x)(56+x) mod 101
103=3 mod 20, x^2-5=98+x^2 mod 103
107=7 mod 20, x^2-5=102+x^2 mod 107
109=9 mod 20, x^2-5=(21+x)(88+x) mod 109
127=7 mod 20, x^2-5=122+x^2 mod 127
149=9 mod 20, x^2-5=(68+x)(81+x) mod 149
163=3 mod 20, x^2-5=158+x^2 mod 163
167=7 mod 20, x^2-5=162+x^2 mod 167
181=1 mod 20, x^2-5=(27+x)(154+x) mod 181
223=3 mod 20, x^2-5=218+x^2 mod 223
227=7 mod 20, x^2-5=222+x^2 mod 227
229=9 mod 20, x^2-5=(66+x)(163+x) mod 229
241=1 mod 20, x^2-5=(103+x)(138+x) mod 241
263=3 mod 20, x^2-5=258+x^2 mod 263
269=9 mod 20, x^2-5=(126+x)(143+x) mod 269
281=1 mod 20, x^2-5=(75+x)(206+x) mod 281
283=3 mod 20, x^2-5=278+x^2 mod 283
307=7 mod 20, x^2-5=302+x^2 mod 307
347=7 mod 20, x^2-5=342+x^2 mod 347
349=9 mod 20, x^2-5=(62+x)(287+x) mod 349
367=7 mod 20, x^2-5=362+x^2 mod 367
383=3 mod 20, x^2-5=378+x^2 mod 383
389=9 mod 20, x^2-5=(86+x)(303+x) mod 389

 

 

역사

• 수학사 연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVEpGdUlBcFBITFU/edit
• http://oeis.org/A033205