외대수(exterior algebra)와 다중선형대수(multilinear algebra)

개요

• \(\Lambda(V)\) : alternating algebra, exterior algebra, 그라스만 대수 라는 이름으로 불림
• 기하학에서 미분형식 을 정의하기 위한 대수적 장치
• 클리포드 대수 는 외대수의 일반화로 볼 수 있다

 

 

텐서 공간

• V : 유한차원 벡터공간
• \(V^{*}\) : V의 쌍대공간
• \(T=V\otimes \cdots \otimes V \cdots \otimes V^{*}\cdots \otimes V^{*}\) : 텐서공간
• \(T\) 의 원소를 텐서라 부른다
• \(V, V^{*}\) 에 대한 multilinear function 으로 이해할 수 있다

 

 

텐서 대수 tensor algebra

• \(T(V)\)

 

 

외대수 exterior algebra

• 정의 \(\Lambda(V) := T(V)/I\)
• \(\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)\)
• \(\alpha\in \Lambda^k(V), \beta\in \Lambda^p(V)\) 에 대하여 \(\alpha\wedge\beta = (-1)^{kp}\beta\wedge\alpha\) 가 성립한다

 

 

외대수의 쌍대 공간

• \(\Lambda^k(V)^{*}\simeq\Lambda^k(V^{*})\)
• \(v_1,\cdots, v_k \in V\), \(f_1,\cdots, f_k \in V^{*}\) 에 대하여, 다음과 같은 isomorphism \(\Lambda^k(V^{*})\to \Lambda^k(V)^{*}\)을 정의할 수 있다\[\langle v_1\wedge\cdots\wedge v_k, f_1\wedge\cdots\wedge f_k\rangle=\det(\langle v_i,f_j\rangle)\]
  

 

 

교대 겹선형 형식 alternating multilinear form과 외대수의 쌍대 공간

• 외대수의 쌍대 공간을 생각하는 또다른 방식 \(\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\)
• 교대 겹선형 k-형식(k-alternating form)\[f:V^k\to{\mathbb R},\qquad f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=(\text{sgn}\sigma)f(v_1,\cdots,v_k) \quad\text{for all} \quad\sigma\in S_k.\]
  
• \(A^k(V)\) : the set of k-alternating forms on V
• \(A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)\)
• wedge product\[\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta)\]
  여기서 \(\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)}).\)
  
• (p,q)-shuffle 을 이용한 정의\[\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in Sh_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}),\]
  

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

 

메모

• http://www.auburn.edu/~tamtiny/math7970-11f.html
• http://math.stackexchange.com/questions/157528/wedgekv-cong-mathrmaltkv?rq=1
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

 

 

수학용어번역

• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=exterior
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=multilinear

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcTk3QjV5U09pbDA/edit

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/다중선형대수학
• http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra