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* 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐 | * 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐 | ||
* 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof) | * 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof) | ||
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* [http://www.math.uiuc.edu/%7Er-ash/CV/CV7.pdf http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV/CV7.pdf] | * [http://www.math.uiuc.edu/%7Er-ash/CV/CV7.pdf http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV/CV7.pdf] | ||
* <math>\pi(n)\sim \int_2^{n} \frac{1}{\log x}\,dx</math> | * <math>\pi(n)\sim \int_2^{n} \frac{1}{\log x}\,dx</math> | ||
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Littlewood_tauberian_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy–Littlewood_tauberian_theorem] | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Littlewood_tauberian_theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy–Littlewood_tauberian_theorem] | ||
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** Atle Selberg, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 50, No. 2 (Apr., 1949), pp. 305-313 | ** Atle Selberg, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 50, No. 2 (Apr., 1949), pp. 305-313 | ||
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2013년 6월 29일 (토) 05:26 판
개요
- \(x\) 이하의 소수의 갯수 \(\pi(x)\) 에 대해, \(x\) 가 크면 \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 이다. 즉, \(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\) 이 성립한다.
- 가우스가 소수 표를 보다가 처음 발견
- 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐
- 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof)
동치명제
- 다음은 소수정리와 동치이다\[\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x\]
(증명)\[\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x\]
임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, \[\varphi(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}\]
따라서 \(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x\) 임을 가정하면, \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 를 얻는다. ■
로그적분
\[\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx\]
역사
메모
- 드 라 발레-푸생
- http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV/CV7.pdf
- \(\pi(n)\sim \int_2^{n} \frac{1}{\log x}\,dx\)
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/소수정리
- http://en.wikipedia.org/wiki/prime_number_theorem
- [1]http://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formula
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy–Littlewood_tauberian_theorem
관련논문
- D. Goldfeld, THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE
- An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem
- Atle Selberg, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 50, No. 2 (Apr., 1949), pp. 305-313