"원분다항식(cyclotomic polynomial)"의 두 판 사이의 차이
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* 차수는 [[오일러의 totient 함수]] 를 사용하여 <math>\varphi(n)</math> 로 표현됨 | * 차수는 [[오일러의 totient 함수]] 를 사용하여 <math>\varphi(n)</math> 로 표현됨 | ||
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| − | 그러면 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 는 차수가 | + | 그러면 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 는 차수가 $r$인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>의 분해는, <math>p\pmod n</math>에 의해 결정된다. |
* 증명은 [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]] 참조 | * 증명은 [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]] 참조 | ||
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2013년 12월 30일 (월) 02:26 판
개요
- 원분체 (cyclotomic field) 의 연구에서 다룰 수 있는 주요 대상
- 방정식과 근의 공식 연구의 중요한 실험장
정의
- \(\Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)\)
- 여기서 \(\omega\)는 primitive n-th root of unity (단위근)
- 차수는 오일러의 totient 함수 를 사용하여 \(\varphi(n)\) 로 표현됨
- \(x^n-1= \prod_{d|n}\Phi_d(x)\)
원분다항식의 상호법칙
- 소수 \(p\) 에 대해 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 어떻게 분해되는가의 문제
- 정리
\(p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 order가 \(r\)이라 하자. 즉 $r$이 \(p^r=1\pmod n\) 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.
그러면 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 는 차수가 $r$인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 \(\Phi_n(x) \pmod p\)의 분해는, \(p\pmod n\)에 의해 결정된다.
- 따름정리
\(n | p-1\) \(\iff\) \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해된다
원분다항식 목록
\(\begin{array}{l|ll} & \phi (n) & \phi _n(x) \\ \hline 1 & 1 & -1+x \\ 2 & 1 & 1+x \\ 3 & 2 & 1+x+x^2 \\ 4 & 2 & 1+x^2 \\ 5 & 4 & 1+x+x^2+x^3+x^4 \\ 6 & 2 & 1-x+x^2 \\ 7 & 6 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ 8 & 4 & 1+x^4 \\ 9 & 6 & 1+x^3+x^6 \\ 10 & 4 & 1-x+x^2-x^3+x^4 \\ 11 & 10 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10} \\ 12 & 4 & 1-x^2+x^4 \\ 13 & 12 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12} \\ 14 & 6 & 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6 \\ 15 & 8 & 1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8 \\ 16 & 8 & 1+x^8 \\ 17 & 16 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16} \\ 18 & 6 & 1-x^3+x^6 \\ 19 & 18 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16}+x^{17}+x^{18} \\ 20 & 8 & 1-x^2+x^4-x^6+x^8 \end{array}\)
역사
관련된 항목들
수학용어번역
- cyclotomic - 대한수학회 수학용어집
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNWJiOTZkZTYtMDJhMS00MDg4LTljMzItNWFhYjg3MzMwNDRl&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=cyclotomic+polynomial