김민형 교수 강연 '수학의 본질 : 數(수)'

개요

• 김민형 교수 강연
• 2014년 3월 25일 오후 7시, 서울대학교 상산수리과학관 101호
• 청중은 100여명 정도로 보이며, 대부분 학부생. 고등학생, 대학원생도 드물게 보임
• 프로젝터가 작동하지 않아 예정보다 10분가량 늦게 시작됨

강연녹취

기다리게 해서 죄송합니다. 아까 얘기했듯이 이게 초등학생과 노인을 위해서 준비한건데, 젊은이들한테는 저번에 제가 소수에 대한 대중서를 하나 썼는데, 초등학생들한테 초등학생들은 왜 이렇게 쉽냐고 하고 대학생들은 재밌다고 하고 그럽니다.

사진을 몇개 보여드리죠. 수학은 항상 펭귄으로부터 시작하니까, 펭귄, 사과, 포크의 사진 세 물건 사이의 공통점이 뭔가요? (하나) 수에 대한 강연이라고 하니까.. 허허 그렇게 얘기하기하면 재미가 없어지는데... 기대했던 정답은 공통점이 없다는 거였는데요. 펭귄, 사과, 포크 각 다섯개가 있는 사진 이제 공통점이 보이죠? 학생은 다섯이라고 그랬죠? 공통점이 뭔지 안다고 했지요? 공통점이 뭔가요? '개수요' 개수가 뭔가요. '다섯이요' '다섯'이 뭔가요. '하나, 둘, 셋, 넷, 다섯' 아무 공통점이 없는 것들도 다섯개 물어보면 공통점이 생기죠. 그런데 그게 뭐나고 물어보면 대답하기 상당히 어렵거든요. 공부를 많이 하고 난 뒤에도.

쉬운 답은 '수다'인데, '수가 뭐냐'하고 물어보면 답하기가 어렵죠. 오래전부터 철학자들이 '수가 무엇인가' 고민을 많이 한것 같아요.

피타고라스는 '모든 게 수다'라고 말을 했어요. 수가 뭔지는 답을 아니고. 그런 착안을 했던 이유는 음악에 관심이 많았는데, 역사적으로는 수학과 음악이 밀접하다고 생각된 것 같아요. 길이를 반으로 줄이면 한 옥타브가 올라가고, 3분의 2로 줄이면 도가 솔로 올라가고. 현의 길이와 음의 높이 사이에 관계를 착안을 했어요. 푸리에 이론하고 비슷하지요. 임의의 함수가 있으면 이들을 삼각함수의 합으로 쓰여진다는 건데요.

피타고라스가 수에 관해 이상한 말들도 많이 했어요. 1은 이성적인 숫자, 2는 첫번째 여자 수, 3은 첫번째 남자수, 4,5,6,

신비적인 생각에 의해서 대응 관계를 만들었어요. 자세히 읽어보지는 않았지만 아리스토텔레스의 형이상학을 보면 피타고라스가 이런걸 만든 이유는 '유치해서' 때문이라고 했어요. 플라톤 시대에 오게 되면 수를 그 자체로 생각을 하기 시작했던거거든요. 그런데 피타고라스 때만해도 수를 그 자체로 생각하지 못했던 것 같아요. 뭔가 손으로 만질 수 있고, 일상적인 것과 연결하려고 했던거죠. 그런 의미에서 '유치' 또는 '미숙'해서 그런 관계를 만들었다고 표현한 거지요.

지금의 관점에서 보면 '수가 뭐냐 안물어보는게 대체로 좋거든요. 본질적인 질문은 1년에 한번 이상 안하는게 좋다고 생각하는데, 본질적인 질문이 중요한데.. '인생의 의미처럼' 그런데 너무 자주하면 진도가 안나간다는 문제가 있엉. 그러니까 염두에 두고 있다가 어쩌다 한번씩 생각해보는게 좋은것 같아요. '수가 뭐냐' 그러니까 질문은 하겠지만, 앞으로 1년쯤 두고 천천히 생각해 보세요.

뉴턴이 힘은 질량과 가속도의 곱이라는 공식을 했는데, '힘이 뭐냐'고 하면 답하기가 어려워요. 그래서 현대 과학의 입장에서는 '뭐가 뭐냐'라고 묻기보다는 '사물 사이의 관계가 무엇이냐를 묻는것 같아요. 그렇게 함으로써 진전을 할 수가 있는것 같아요.

사람들이 수를 생각하는 방법이 굉장히 큰 진전이 있었어요. 100,000,000. 1억쯤 해도 아무도 어려운 수라고 생각을 안하잖아요. 이런 정도도 어렵지만 더 큰 수는 상상도 못했던것 같아요. 모래사장의 모래가 더 많으냐, 나무의 나뭇잎이 더 많으냐 이런 질문도 어려워했는데, 그 정도 큰 수라는 것을 어렵게 느꼈던것 같아요. 근본적인 이유의 하나는 표기법이 없었다는 문제가 있었던것 같아요. 지금은 공부안하는 사람도 1억을 개념적으로나 실질적으로나 어려워하지 않지요.

0이라는게 수냐 아니냐 하는것도 어려운 질문이었는데요. 인도에서 이제 이를 알아냈는데, 수라는걸 양으로 이해했기 때문에 0을 받아들이기 어려웠던것이죠. 그런데 100,000,000같은 것을 표기하는 문제 때문에 0의 개념도 발전한건데요. 1다음에 위치를 메꾸기 위해서 0이 도입되었다 생각하는 사람도 있는것 같아요.

1.5라는 수를 봅시다. 얼마 전에 행사가 있었는데 1.5시간을 한다고 하더라구요. 그런걸 보면 일반인들도 1.5가 어려운 것 같지 않지요. 그러니까 많은 발전이

-2라는 건 요즘에 건물에 가면 -2층이라고 써있느것도 있구요.

$\sqrt{2}, \pi, \sqrt{-1}$이러한 것들도 수인데, 이런걸 보면

333667*2997=999999999 이런것은 아리스토텔레스한테는 굉장이 어려웠을 거에요. 저도 틀리긴 하지만 그건 실수지 1728/12=144 라는걸 아리스토텔레스한테 타임머신을 타고 가서 보통 사람도 할 수 있는거라고 하면 놀라 기절할거라고 해요.

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$이런 계산은 무한개의 계산을 하는거지요.

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots =2$ 이런 것도 이제 아무렇지도 않게 받아들지요

$\int_0^1 x^2\, dx=\frac{1}{3}$ 이런것은 수를 무한개를 더하는거거든요. 이러한 어려운 것을 아무렇지도 않게 받아들이고 있지요..

화이트헤드는 문명의 발전은 중요한 연산을 생각도 하지 않고 할 수 있게 됨으로서 진전한다고 했거든요. 'Civilization advances by extending '

수가 무엇인지 묻지 않기로 했으니, 여기서 마무리를 해도 될 것 같은데, 그래도 잠시 생각을 해보죠. 앞으로 1년 동안 생각을 안한다고 약속을 하구요.

수가 무엇인가에 대한 잠정적인 정답은 '더하기, 빼기, 곱하기, 나누기'를 할 수 있는 것이라고 하겠습니다. 수 자체보다는 수의 본질은 주어진 사물을 가지고 연산을 할 때 자연스러운 연산을 할 수 있을 때 그것이 수다라는 거죠.

연산의 예를 몇 개 보여드릴께요.

본질에 대해서 물어볼때도 예를 드는것이 좋지요. 공론을 하기 보다는.

반도체 칩 사진. (NS32000) 반도체가 왜 중요해요? 많이 중요하지만 컴퓨터에 중요하잖아요. 컴퓨터 안에 저런게 잔뜩 들어가 있는데, 그 안에 메모리 셀들이 많이 배열되어 있어요. 셀 하나마다 상태가 두 개가 가능해요. 전류가 흐르는 상태, 흐르지 않는 상태. 그렇게 두 가지가 있는데, 그것을 조작함으로써 정보를 조작하는거죠. 컴퓨터 속에는 모든 정보가 두 가지 상태를 통해서 저장되는 거지요. 그런데 놀라운 것의 하나는 다음과 같은 연산인데요. ($N=0,C=1$) $$N+N=N\\ N+C=C \\ C+C=N $$ $$ N*N=N\\ N*C=N\\ C*C=C $$ 확장하기도 쉬운데요. $$ NN+NN=NN\\ CN+CC=NC\\ CC+CC=NN $$ 반도체 덧셈이 보통 덧셈보다도 쉽지요. 반도체 곱셈은 좀더 어려워요. $$ CN* CN=CC\\ CC* CN=NC\\ CC* CC=CN $$ 이런것은 규칙이 잘 안 보이는데요. 왜 저렇게 곱하면 좋을까요 물을 수 있겠지요. 자리수끼리 곱해도 될 건데.

곱셈표를 만들면 다음과 같은데요.

세 개일 때의 곱셈표는 다음과 같아요. $$ CCN*CCC= $$

$$ CCN/CCC $$

곱셈을 이렇게 하는 이유는 나눗셈이 가능하다는건데요. 자리수끼리 곱하는 연산으로는 나눗셈이 안 돼요.

근본적으로 정보를 효율적으로 저장하고 전송하고 재현하는데, 곱셈이 사용돼요. $$ CCN^1=CCN\\ CCN^2=NCN\\ CCN^3=CCC\\ CCN^4=CNN\\ CCN^5=CNC \\ CCN^6=NCC\\ CCN^7=NNC $$ 재미있는 것은 NNN만 제외하고는 오른쪽에 모든 수가 다 나타나잖아요. 한 원소의 거듭제곱으로 0을 제외하고 모든 것이 다 나타난다는 성질이 정보의 저장에 굉장히 유용하다는 건데요.

이것을 유한체 $\mathbf{F}_8$라고 씁니다.

이제 다른 연산을 보여드릴께요. 타원곱셈연산이라고 하는건데요. $$ y^2=x^3++4 $$ 이것은 이 곡선 상의 점들을 더하는 방법이에요. 점 P와 Q가 있으면 P+Q를 얻을 수가 있어요. 저 곡선 상의 점을 연산하는 방법인데, 이 기름을 보고 연산의 규칙을 알아낼 수 있겠어요? (한 학생이 옳게 대답함) 두 점을 지나는 직선을 긋고 그게 곡선과 만나는 점을 x축에 반사를 하면 P+Q를 얻을 수가 있어요. 이게 타원곡선의 연산이에요. 좌표하고도 상관없이 굉장히 기하학적인 연산이지요. 그런데 수론에서 사용을 할 때는, 좌표를 사용하는데요. 중요한 성질이 두 개가 있는데요. $$(P+Q)+R=P+(Q+R)$$ 결합법칙이라고 하는건데, 증명이 쉽지는 않아요. 그림으로 봐서는 쉽지가 않고요.

수론에서 정의한 성질은 P와 Q가 모두 유리수점이면 P+Q도 유리수점이라는 사실이에요. 간단한 예를 보자면, $y^2=x^3-2$인데요. 유리수점들이 있지요? $$ 5^2=3^3-2 $$ 이제 이 점 $P=(3,5)$을 가지고 자기 자신과 더하기를 하면은 $$ P+P=(\frac{129}{100},\frac{-383}{1000}) $$ 아 아까 자기자신하고 더하는건 얘기를 안했죠? 접선을 그으면 돼요. 이 점이 타원곡선 위에 있다는 사실은 때려맞춰서는 어렵겠지요? 연산을 해서 얻어야 좋지요.

다음에 보여줄 연산은 곡면을 가지고 하는 건데요. 위상수학을 들은 학생들은 알 수 있을 거에요. 곡면 두 개가 있을 때 그 둘을 더하는 건데요. 두 곡면에서 원반을 떼어내서 둘을 붙이는 건데요. $$ A#B $$ connected sum이라고 합니다.

(칠판에 그림)

토러스 두 개를 더해서 구 멍이 두 개인 곡면을 얻을 수 있구요. 위상수학에서 중요한 결과 중의 하나는 2차원 곡면 중에서 경계면이 없고, 안과 밖을 구별 할 수 있는 경우는 모두 이렇게 만들 수 있다는 겁니다. 이제 이해를 했는지 한번 확인을 해보지요.

구 멍 두개인 곡면에 구를 더하면 어떻게 될까요? 바뀌질 않지요. 구멍을 뚫어서 구면을 붙이면 자기 자신을 얻게 됩니다.

그러니까 위상학적으로 얻는 연산에 항등원이 있다 이런 얘기가 되겠구요

이제 다음 이야기는 입자를 가지고 하는건데요. 이거 아는 사람? (파인만 다이어그램이요) 물리학과 학생인가 보네요. 그럼 이게 어떤 과정을 나타내는 건지 아세요? 전자 두 개가 부딪혀서 광자를 내보내는 겁니다. 입자들의 과정을 나타내는 건데, 사실은 이게 연산이거든요. 이런 종류의 파이만 다이어그램을 굉장히 많이 사용하는데, 한번 구글에서 이걸 찾아보지요. (구글 image) 이런걸 보면 이것이 복잡한 과정으로 확장이 되는데요, 지금 보여준 그림이 가장 기초적인 거라고 할 수 있습니다.