"격자의 세타함수"의 두 판 사이의 차이

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==정의==
 
==정의==
  
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*  격자 <math>L</math> 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함:<math>\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, \quad q=e^{2\pi i \tau}</math>
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*  격자 <math>L\subseteq \mathbb{R}^n</math> 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함
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*  여기서 <math>x^2</math> 은 벡터 <math>x</math>의 norm 을 가리킴.
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:<math>\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, \quad q=e^{2\pi i \tau}</math>
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여기서 <math>x^2</math> 은 벡터 <math>x</math>의 norm 을 가리킴.
  
 
   
 
   
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==자코비 세타함수의 경우==
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==예==
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*  격자가 정수집합 <math>\mathbb Z</math> 로 주어진 경우의 세타함수:<math>\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}=  \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}</math>
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===1차원 격자 $\mathbb{Z}$===
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* [[자코비 세타함수]]를 얻는다
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*  격자가 정수집합 <math>\mathbb Z</math> 로 주어진 경우의 세타함수
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$$
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\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}=  \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}
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* 이는 [[자코비 세타함수]]이며, 다음의 변환 성질을 만족한다
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\theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau})
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==세타함수의 모듈라 성질==
 
==세타함수의 모듈라 성질==
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;정리
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유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$의 격자 $L$과 쌍대 $L^{*}$에 대하여 다음이 성립한다 :
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$$
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\theta_{L}(-\frac{1}{\tau})=(\frac{\tau}{i})^{n/2}\frac{1}{\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/L)} \theta_{L^{*}}({\tau})
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(정리)
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;증명
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[[포아송의 덧셈 공식]]으로부터 얻어진다. ■
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rank가 2n의 even unimodular 격자 <math>L</math>에 대하여 , 세타함수 <math>\theta_L</math> 은 weight n인 모듈라 형식이 된다.
 
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(증명)
 
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먼저 cusp 에서의 푸리에 급수 조건은 정의에 만족된다. ( <math>\theta_L(i\infty)=1</math> 도 알 수 있음.)
 
  
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[[포아송의 덧셈 공식]]을 사용하자.
 
  
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==메모==
 
==메모==
 
* http://sbseminar.wordpress.com/2010/05/14/lattices-and-their-invariants/
 
* http://sbseminar.wordpress.com/2010/05/14/lattices-and-their-invariants/
 
* [http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/ Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms]
 
* [http://swc.math.arizona.edu/aws/2009/ Arizona Winter School 2009: Quadratic Forms]
 
* http://math.mit.edu/~brubaker/Math784/thetafunctions.pdf
 
* http://math.mit.edu/~brubaker/Math784/thetafunctions.pdf
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* http://zacharyabel.com/papers/Theta-Series-Mod_A07.pdf
 
   
 
   
  

2014년 4월 22일 (화) 20:53 판

정의

  • 격자 \(L\subseteq \mathbb{R}^n\) 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함

\[\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, \quad q=e^{2\pi i \tau}\] 여기서 \(x^2\) 은 벡터 \(x\)의 norm 을 가리킴.



예

1차원 격자 $\mathbb{Z}$

  • 격자가 정수집합 \(\mathbb Z\) 로 주어진 경우의 세타함수

$$ \theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau} $$

$$ \theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau}) $$


세타함수의 모듈라 성질

정리

유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$의 격자 $L$과 쌍대 $L^{*}$에 대하여 다음이 성립한다 : $$ \theta_{L}(-\frac{1}{\tau})=(\frac{\tau}{i})^{n/2}\frac{1}{\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/L)} \theta_{L^{*}}({\tau}) $$

증명

포아송의 덧셈 공식으로부터 얻어진다. ■


메모


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