N차원 공의 부피

개요

• 반지름 r인 n차원 공(n-ball)이란, n차원 유클리드 공간에서 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
  
  • \(x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ r^2\)
  • 1차원 공= [-r,r]
  • 2차원 공 = 반지름 r인 원판
• 1차원 공의 부피는 \(2r\)
• 2차원 공의 부피는 \(\pi r^2\).
• 3차원 공의 부피는 \(\frac{4}{3}\pi r^3\).
• ...
• n차원 공의 부피는 얼마가 될까? 
  
  • n이 짝수일 때는, \(\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}\)
  • n이 홀수일 때는, \(\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}\)
  • 일반적으로는 다음 식으로 표현할 수 있다\[\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n\]
    

 

 

공식의 유도

정리

반지름 1인 n-차원 공의 부피를 \(\omega_{n}\) 라 두자. 다음 점화식이 성립한다 \[ \omega_{n}=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}\]\[ \omega_{n}=\frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}\]

증명

\[ \begin{align} \omega_{n} & =\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} \\ & = \int_{-1}^{1}\left(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2\leq\ 1-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-1}\right)dx_{n} \\ & = \int_{-1}^{1} \omega_{n-1} \left(1-x_{n}^2\right)^{\frac{n-1}{2}}dx_{n} = \frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)} \omega_{n-1} \end{align} \]

\[ \begin{align} \omega_{n} & =\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} \\ & = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1}\left(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-2}^2\leq\ 1-x_{n-1}^2-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-2}\right)dx_{n-1} dx_{n} \\ & = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1} \omega_{n-2} (1-x_{n-1}^2-x_{n}^2)^{\frac{n-2}{2}}dx_{n-1}dx_{n} = \frac{2\pi}{n}\omega_{n-2} \end{align} \] ■  

 

반지름 1인 n-차원 공의 부피로 주어진 수열

\(2,\pi ,\frac{4 \pi }{3},\frac{\pi ^2}{2},\frac{8 \pi ^2}{15},\frac{\pi ^3}{6},\frac{16 \pi ^3}{105},\frac{\pi ^4}{24},\frac{32 \pi ^4}{945},\frac{\pi ^5}{120}, \cdots\)

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 다변수미적분학
• Special functions
  
  • 감마함수

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMmI5MDg0MWYtODU0MS00ZGVlLTk0MDQtN2Q5NThkMDc1ZTY4/edit
• http://mathematica.stackexchange.com/questions/6633/check-homework-integration-in-mathematica
• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere
• http://en.wikipedia.org/wiki/Ball_(mathematics)

 

 

관련논문

• Greg Huber Gamma Function Derivation of n-Sphere VolumesThe American Mathematical Monthly, Vol. 89, No. 5 (May, 1982), pp. 301-302
• H. P. Evans Volume of an n-Dimensional SphereThe American Mathematical Monthly, Vol. 54, No. 10, Part 1 (Dec., 1947), pp. 592-594