"소수 정리"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
14번째 줄: 14번째 줄:
 
임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
 
임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
 
:<math>\theta(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}</math>
 
:<math>\theta(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}</math>
−
따라서 <math>\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x</math> 임을 가정하면,  
+
따라서 <math>\theta(x) \sim x</math> 임을 가정하면,  
 
:<math>\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}</math>
 
:<math>\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}</math>
 
를 얻는다.■
 
를 얻는다.■

2014년 10월 26일 (일) 14:38 판

개요

  • \(x\) 이하의 소수의 갯수 \(\pi(x)\) 에 대해, \(x\) 가 크면 \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 이다. 즉, \(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\) 이 성립한다.
  • 가우스가 소수 표를 보다가 처음 발견
  • 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐
  • 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof)


동치명제

정리

다음은 소수정리와 동치이다 \[\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x\]

증명

\[\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x\] 임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여, \[\theta(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}\] 따라서 \(\theta(x) \sim x\) 임을 가정하면, \[\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\] 를 얻는다.■

로그적분

\[\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx\]

 

 

역사

 

 

메모

 

관련된 항목들

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=소수_정리&oldid=30626"