정이면체군 (dihedral group)

개요

• 정n각형의 자기동형군
• 크기가 2n이며 정이면체군 \(D_n\)이라 부른다
• 생성원과 관계식\[\left\langle a,b\mid a^2=b^n=1, a^{-1}ba=b^{-1}\right\rangle\]
• semidirect product \(D_{n}= C_{n} \rtimes \mathbb{Z}_{2}\) 로 쓸 수 있다
• 콕세터군으로서의 생성원과 관계식\[\left\langle r_1,r_2\mid r_1^2=r_2^2=(r_1r_2)^{n}=1\right\rangle\]

반사 변환과 회전

• 벡터 \((\cos (\theta ),\sin (\theta ))\)를 법벡터로 갖는 직선에 대한 반사 변환을 행렬로 다음과 같이 표현할 수 있다

\[s_{\theta}=\left( \begin{array}{cc} -\cos (2 \theta ) & -\sin (2 \theta ) \\ -\sin (2 \theta ) & \cos (2 \theta ) \end{array} \right)\]

• 가령 \(\theta=0\)인 경우는 y-축에 대한 반사변환이 되며, 다음 행렬로 표현된다\[\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\]
• 두 반사 변환 \(s_{\theta_1},s_{\theta_2}\)의 합성 \(s_{\theta_1}s_{\theta_2}\)은 다음과 같은 회전변환이 된다\[\left( \begin{array}{cc} \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & -\sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \\ \sin \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) & \cos \left(2 \theta _1-2 \theta _2\right) \end{array} \right)\]

정이면체군의 기하학적 이해

• 정이면체군 \(D_n\)은 정n각형의 자기동형군으로 이해할 수 있다
• 다음 두 반사변환은 생성원이 된다\[x=\left( \begin{array}{cc} -\cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \\ -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \end{array} \right)\]\[y=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\]
• x와 y의 합성으로부터, order가 n인 다음 회전변환을 얻을 수 있다 (콕세터 원소(Coxeter element) )\[\left( \begin{array}{cc} \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & -\sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \\ \sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right) & \cos \left(\frac{2 \pi }{n}\right) \end{array} \right)\]

D5와 정오각형의 예

• 정이면체군 \(D_5\) 는 10개의 원소로 이루어져 있으며, 각각의 원소는 정오각형에 다음과 같은 대칭변환으로 작용한다

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)

수학용어번역

• dihedral - 대한수학회 수학용어집
• direct - 대한수학회 수학용어집

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxRHNJRjA3a28xQVU/edit