"소수 정리"의 두 판 사이의 차이

2015년 11월 5일 (목) 22:06 판

개요

$x$ 이하의 소수의 갯수 $\pi(x)$ 에 대해, $x$ 가 크면 $\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}$ 이다. 즉 다음이 성립한다

\[\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\]

체비셰프 $\psi$와 $\theta$

$x>0$에 대하여, 다음과 같이 $\psi$와 $\theta$를 정의

$$ \psi(x)=\sum_{n \leq x}\Lambda(n) $$ $$ \theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p $$

정리

$x>0$에 대하여 다음이 성립한다 $$ 0\leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\theta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2} $$

소수 계량 함수와의 관계

정리

$x\geq 2$에 대하여 다음이 성립한다 $$ \theta(x)=\pi(x)\log x-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\, dt\\ \pi(x)=\frac{\pi(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\, dt $$

증명

함수 $a$가 소수집합에 대한 특성함수, 즉 $$ a(n) = \begin{cases} 1, & \text{if $n$ is prime}\\ 0, & \text{otherwise} \\ \end{cases} $$ 라 하자.

이 때, $\pi(x)=\sum_{1<n \leq x}a(n)$ 그리고 $\theta(x)=\sum_{1<n \leq x} a(n)\log n$이 성립한다.

아벨 항등식을 적용하면, $$ \begin{aligned} \theta(x)&=\pi(x)\log x-\pi(1)\log 1-\int_{1}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\,dt\\ &=\pi(x)\log x-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}\,dt \end{aligned} $$

한편 $b(n)=a(n)\log n$으로 두면, 다음이 성립한다 $$ \begin{aligned} \pi(x)&=\sum_{3/2<n\leq x}b(n)\frac{1}{\log n}\\ &=\frac{\theta(x)}{\log x}-\frac{\theta(3/2)}{\log 3/2}+\int_{3/2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\,dt\\ &=\frac{\pi(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\theta(t)}{t\log^2 t}\, dt \end{aligned} $$

동치명제

정리

다음의 관계들은 동치이다 $$ \lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\theta(x)}{x}=1 \\ \lim_{x\to \infty}\frac{\psi(x)}{x}=1 $$

로그적분

로그 적분(logarithmic integral)

\[\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx\]

역사

1792-3 가우스의 실험적인 관찰에서 발견
1798 르장드르가 소수 정리를 추측
1859 리만이 리만 가설을 발표
1896 아다마르와 드라발레푸생에 의해 (독립적으로) 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐
1948 에르디시와 셀베르그가 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 방법으로 소수 정리를 증명
수학사 연표

메모

[[http://www.mathpages.com/home/kmath032.htm
http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV/CV7.pdf
$\pi(n)\sim \int_2^{n} \frac{1}{\log x}\,dx$

증명

\[\theta(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x\] 임의의 $\epsilon>0$에 대하여, \[\theta(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}\] 따라서 $\theta(x) \sim x$ 임을 가정하면, \[\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\] 를 얻는다.■

사전 형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Gasarch, William, and Larry Washington. “$\sum_{p\le N} 1/p = Ln(ln N) + O(1)$: An Exposition.” arXiv:1511.01823 [math], November 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.01823.
http://people.oregonstate.edu/~peterseb/misc/docs/pnt2.pdf
D. Goldfeld, THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE

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 ==리뷰, 에세이, 강의노트==
+* Gasarch, William, and Larry Washington. “$\sum_{p\le N} 1/p = Ln(ln N) + O(1)$: An Exposition.” arXiv:1511.01823 [math], November 5, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.01823.
 * http://people.oregonstate.edu/~peterseb/misc/docs/pnt2.pdf
 * D. Goldfeld, [http://www.math.columbia.edu/%7Egoldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE]
 ==관련논문==