가우스-보네 정리

간단한 소개

• 국소적 가우스-보네 정리
  
  • [1] :곡면상의 영역, [2] : 가우스 곡률, [3] : 꼭지점에서의 angle jump, [4] : 곡선의 측지곡률

• 둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 [5] 의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음

• 대역적 가우스-보네 정리
  
  • [6] : 유향 컴팩트 곡면, [7] : 곡면의 오일러 특성수

 

• 대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능

 

(증명)

먼저 곡면을 측지다각형으로 분해하여, 각 다각형 [8] 에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용

 

각 다각형에 대한 결과를 모두 더하면,

 

이제,  를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자.

k각형의 내각의 합은 이므로, 위의 식은 다음과 같아진다.

 

여기서 가 성립하는데, 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다. 따라서 위의 식은

 

(오일러의 정리가 사용되었음)

 

 

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 볼록다면체에 대한 데카르트 정리

 

표준적인 도서 및 추천도서

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위키링크

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