"가우스-보네 정리"의 두 판 사이의 차이
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<math>\int_M K dA = 2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} (\pi - \text{internal angle at }v)</math> | <math>\int_M K dA = 2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} (\pi - \text{internal angle at }v)</math> | ||
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[http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3D2%5Cpi%20F-%5Csum_%7BF%5Ctext%7B%3Afaces%7D%7D%28%5Ctext%7Bnumber%20of%20vertices%20of%20%7D%20F%29%20%5Cpi%20%2B2%20%5Cpi%20V ] | [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3D2%5Cpi%20F-%5Csum_%7BF%5Ctext%7B%3Afaces%7D%7D%28%5Ctext%7Bnumber%20of%20vertices%20of%20%7D%20F%29%20%5Cpi%20%2B2%20%5Cpi%20V ] | ||
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[http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3D2%5Cpi%20F-2%5Cpi%20E%20%2B2%20%5Cpi%20V ] (각각의 모서리는 두 번씩 세어짐) | [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3D2%5Cpi%20F-2%5Cpi%20E%20%2B2%20%5Cpi%20V ] (각각의 모서리는 두 번씩 세어짐) | ||
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2011년 9월 10일 (토) 16:14 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
간단한 소개
- 곡면의 기하학적 성질과 위상적인 성질을 연결해 주는 정리.
- 학부 미분기하학의 가장 중요한 정리중 하나임.
국소적 가우스-보네 정리
\(\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds\)
- 둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 [5] 의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음
\(\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\)
대역적 가우스-보네 정리
\(\int_M K dA= 2\pi\chi(M)\)
- 대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능
(증명)
먼저 곡면을 측지다각형으로 분해하여, 각 다각형 [8] 에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용
\(\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\)
각 다각형에 대한 결과를 모두 더하면,
\(\int_M K dA = 2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} (\pi - \text{internal angle at }v)\)
\(=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F}\pi - \sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} \text{internal angle at }v\)
[11] (각각의 모서리는 두 번씩 세어짐)
\(2\pi\chi(M)\)
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 대학원 과목
관련된 다른 주제들
- 볼록다면체에 대한 데카르트 정리
- 증명의 유사성을 눈여겨 볼 것.
- 다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2
표준적인 도서 및 추천도서
위키링크
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Gauss-Bonnet_theorem