"Talk on Rogers-Ramanujan identity"의 두 판 사이의 차이

2010년 7월 8일 (목) 12:32 판

로저스-라마누잔 연분수와 항등식
로저스 dilogarithm
\(L(x)=\operatorname{Li}_2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(1-y)}{1-y}dy\)
\(L(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}\)
\(L(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}\)

\(q=e^{-t}\) 으로 두면 \(t\sim 0\) 일 때,
\(H(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)\)
\(G(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)\)
[McIntosh1995] 참조
이로부터 다음을 알 수 있다
\(t\to 0\) 일 때, \(q=e^{-t}\to 1\) 으로 두면
\(\frac{H(1)}{G(1)} = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots\)

\(r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}\)

\(r(0)= \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots\)

[[4909919|]]

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+* <math>q=e^{-t}</math> 으로 두면 <math>t\sim 0</math> 일 때,<br><math>H(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim  \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)</math><br><math>G(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim  \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)</math><br>
+* '''[McIntosh1995]''' 참조<br>
+*  이로부터 다음을 알 수 있다<br><math>t\to 0</math> 일 때, <math>q=e^{-t}\to 1</math> 으로 두면<br><math>\frac{H(1)}{G(1)} = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots</math><br>
+<math>r(\tau)=q^{\frac{1}{5}} \frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{q^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}</math>
+<math>r(0)=  \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots</math>
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 <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">related items</h5>
+* [[asymptotic analysis of basic hypergeometric series]]<br>