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* 복소수 $T_{m}(u)$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $m\in I$에 대하여, 다음과 같은 점화식을 생각하자
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* 복소수 <math>T_{m}(u)</math>, <math>u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>, <math>m\in I</math>에 대하여, 다음과 같은 점화식을 생각하자
 
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* 아래의 그림은 $r=5$인 경우에 해당하며, $\left(T_{m}(1)\right)_{m\in I}$가 결정되면, 나머지 $T_{m}(u)$는 점화식 \ref{cf}로부터 얻어진다
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* 아래의 그림은 <math>r=5</math>인 경우에 해당하며, <math>\left(T_{m}(1)\right)_{m\in I}</math>가 결정되면, 나머지 <math>T_{m}(u)</math>는 점화식 \ref{cf}로부터 얻어진다
 
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* 점화식 \ref{cf}은 다음과 같은 배열이 $ad-bc=1$를 만족시키는 것으로 이해할 수 있다
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===주기성===
 
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* 각 $m\in I$에 대하여, $T_{m}(u+(r+3))=T_{m}(u)$이 성립한다
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* 각 <math>m\in I</math>에 대하여, <math>T_{m}(u+(r+3))=T_{m}(u)</math>이 성립한다
  
 
===정수 수열===
 
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* 모든 $T_{m}(u)$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $m\in I$가 정수가 될 필요충분조건은 다음과 같다
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* 모든 <math>T_{m}(u)</math>, <math>u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>, <math>m\in I</math>가 정수가 될 필요충분조건은 다음과 같다
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$$
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:<math>
 
T_{m}(1)|\left(T_{m-1}(1)+T_{m+1}(1)\right)
 
T_{m}(1)|\left(T_{m-1}(1)+T_{m+1}(1)\right)
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$$
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;(정리) 콕세터-콘웨이
 
;(정리) 콕세터-콘웨이
 
모든 양의 정수로 이루어진 콕세터 프리즈는 정(r+3)-각형의 삼각화로부터 얻어진다
 
모든 양의 정수로 이루어진 콕세터 프리즈는 정(r+3)-각형의 삼각화로부터 얻어진다
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* Coxeter, H. S. M. 1991. Regular Complex Polytopes. Cambridge [England]; New York: Cambridge University Press. http://www.amazon.com/Regular-Complex-Polytopes-H-Coxeter/dp/0521394902
 
* Coxeter, H. S. M. 1991. Regular Complex Polytopes. Cambridge [England]; New York: Cambridge University Press. http://www.amazon.com/Regular-Complex-Polytopes-H-Coxeter/dp/0521394902
 
** Chapter 5
 
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Morier-Genoud, Sophie. ‘Coxeter’s Frieze Patterns at the Crossroads of Algebra, Geometry and Combinatorics’. arXiv:1503.05049 Null, 17 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.05049.
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==관련논문==
 
==관련논문==
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* Karin Baur, Klemens Fellner, Mark James Parsons, Manuela Tschabold, Growth behaviour of periodic tame friezes, http://arxiv.org/abs/1603.02127v1
 
* '''[H]'''Henry, Claire-Soizic. 2013. “Coxeter Friezes and Triangulations of Polygons.” American Mathematical Monthly 120 (6): 553–558. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.06.553.
 
* '''[H]'''Henry, Claire-Soizic. 2013. “Coxeter Friezes and Triangulations of Polygons.” American Mathematical Monthly 120 (6): 553–558. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.06.553.
 
* Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns.” The Mathematical Gazette 57 (400) (June 1): 87–94. doi:10.2307/3615344.
 
* Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns.” The Mathematical Gazette 57 (400) (June 1): 87–94. doi:10.2307/3615344.
 
* Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns (Continued).” The Mathematical Gazette 57 (401) (October 1): 175–183. doi:10.2307/3615561.
 
* Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns (Continued).” The Mathematical Gazette 57 (401) (October 1): 175–183. doi:10.2307/3615561.
 
* Coxeter, H. S. M. 1971. “Frieze Patterns.” Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica 18: 297–310. https://eudml.org/doc/204992
 
* Coxeter, H. S. M. 1971. “Frieze Patterns.” Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica 18: 297–310. https://eudml.org/doc/204992

2020년 11월 14일 (토) 00:39 기준 최신판

개요

  • \(r\) : 자연수
  • \(I=\{1\,\cdots, r\}\)
  • 복소수 \(T_{m}(u)\), \(u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\), \(m\in I\)에 대하여, 다음과 같은 점화식을 생각하자

\begin{equation} \label{cf} \left\{ \begin{array}{lll} T_{0}(u) =T_{r+1}(u) =1 & u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\ T_{m}(u)T_{m}(u+1)=1+T_{m-1}(u+1)T_{m+1}(u) & m\in I, u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \end{array} \right. \end{equation}

  • 아래의 그림은 \(r=5\)인 경우에 해당하며, \(\left(T_{m}(1)\right)_{m\in I}\)가 결정되면, 나머지 \(T_{m}(u)\)는 점화식 \ref{cf}로부터 얻어진다

콕세터 프리즈1.png


  • 점화식 \ref{cf}은 다음과 같은 배열이 \(ad-bc=1\)를 만족시키는 것으로 이해할 수 있다

콕세터 프리즈5.png

예

\(r=2\)

콕세터 프리즈4.png

\(r=3\)

콕세터 프리즈6.png

콕세터 프리즈7.png

\(r=4\)

콕세터 프리즈2.png

\(r=6\)

콕세터 프리즈3.png



성질

주기성

  • 각 \(m\in I\)에 대하여, \(T_{m}(u+(r+3))=T_{m}(u)\)이 성립한다

정수 수열

  • 모든 \(T_{m}(u)\), \(u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\), \(m\in I\)가 정수가 될 필요충분조건은 다음과 같다

\[ T_{m}(1)|\left(T_{m-1}(1)+T_{m+1}(1)\right) \]

(정리) 콕세터-콘웨이

모든 양의 정수로 이루어진 콕세터 프리즈는 정(r+3)-각형의 삼각화로부터 얻어진다 [H] 정리 4 참조


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련도서


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Morier-Genoud, Sophie. ‘Coxeter’s Frieze Patterns at the Crossroads of Algebra, Geometry and Combinatorics’. arXiv:1503.05049 Null, 17 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.05049.


관련논문

  • Karin Baur, Klemens Fellner, Mark James Parsons, Manuela Tschabold, Growth behaviour of periodic tame friezes, http://arxiv.org/abs/1603.02127v1
  • [H]Henry, Claire-Soizic. 2013. “Coxeter Friezes and Triangulations of Polygons.” American Mathematical Monthly 120 (6): 553–558. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.06.553.
  • Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns.” The Mathematical Gazette 57 (400) (June 1): 87–94. doi:10.2307/3615344.
  • Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns (Continued).” The Mathematical Gazette 57 (401) (October 1): 175–183. doi:10.2307/3615561.
  • Coxeter, H. S. M. 1971. “Frieze Patterns.” Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica 18: 297–310. https://eudml.org/doc/204992
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