"콕세터 프리즈"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 14일 (토) 00:39 기준 최신판

개요

\(r\) : 자연수
\(I=\{1\,\cdots, r\}\)
복소수 \(T_{m}(u)\), \(u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\), \(m\in I\)에 대하여, 다음과 같은 점화식을 생각하자

\begin{equation} \label{cf} \left\{ \begin{array}{lll} T_{0}(u) =T_{r+1}(u) =1 & u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \\ T_{m}(u)T_{m}(u+1)=1+T_{m-1}(u+1)T_{m+1}(u) & m\in I, u\in \mathbb{Z}_{\geq 0} \end{array} \right. \end{equation}

아래의 그림은 \(r=5\)인 경우에 해당하며, \(\left(T_{m}(1)\right)_{m\in I}\)가 결정되면, 나머지 \(T_{m}(u)\)는 점화식 \ref{cf}로부터 얻어진다

점화식 \ref{cf}은 다음과 같은 배열이 \(ad-bc=1\)를 만족시키는 것으로 이해할 수 있다

예

\(r=2\)

5항 관계식 (5-term relation)

\(r=3\)

\(r=4\)

\(r=6\)

성질

주기성

각 \(m\in I\)에 대하여, \(T_{m}(u+(r+3))=T_{m}(u)\)이 성립한다

정수 수열

모든 \(T_{m}(u)\), \(u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\), \(m\in I\)가 정수가 될 필요충분조건은 다음과 같다

\[ T_{m}(1)|\left(T_{m-1}(1)+T_{m+1}(1)\right) \]

(정리) 콕세터-콘웨이

모든 양의 정수로 이루어진 콕세터 프리즈는 정(r+3)-각형의 삼각화로부터 얻어진다 [H] 정리 4 참조

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxbjhtOHUwbTB1S2s/edit?usp=drivesdk

리뷰, 에세이, 강의노트

Morier-Genoud, Sophie. ‘Coxeter’s Frieze Patterns at the Crossroads of Algebra, Geometry and Combinatorics’. arXiv:1503.05049 Null, 17 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.05049.

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 ==개요==
-* $r$ : 자연수
+* <math>r</math> : 자연수
-* $I=\{1\,\cdots, r\}$
+* <math>I=\{1\,\cdots, r\}</math>
-* 복소수 $T_{m}(u)$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $m\in I$에 대하여, 다음과 같은 점화식을 생각하자
+* 복소수 <math>T_{m}(u)</math>, <math>u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>, <math>m\in I</math>에 대하여, 다음과 같은 점화식을 생각하자
 \begin{equation}
 \label{cf}
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 \right.
 \end{equation}
-* 아래의 그림은 $r=5$인 경우에 해당하며, $\left(T_{m}(1)\right)_{m\in I}$가 결정되면, 나머지 $T_{m}(u)$는 점화식 \ref{cf}로부터 얻어진다
+* 아래의 그림은 <math>r=5</math>인 경우에 해당하며, <math>\left(T_{m}(1)\right)_{m\in I}</math>가 결정되면, 나머지 <math>T_{m}(u)</math>는 점화식 \ref{cf}로부터 얻어진다
 [[파일:콕세터 프리즈1.png]]
-* 점화식 \ref{cf}은 다음과 같은 배열이 $ad-bc=1$를 만족시키는 것으로 이해할 수 있다
+* 점화식 \ref{cf}은 다음과 같은 배열이 <math>ad-bc=1</math>를 만족시키는 것으로 이해할 수 있다
 [[파일:콕세터 프리즈5.png]]
 ==예==
-===$r=2$===
+===<math>r=2</math>===
 * [[5항 관계식 (5-term relation)]]
 [[파일:콕세터 프리즈4.png]]
-===$r=3$===
+===<math>r=3</math>===
 [[파일:콕세터 프리즈6.png]]
 [[파일:콕세터 프리즈7.png]]
-===$r=4$===
+===<math>r=4</math>===
 [[파일:콕세터 프리즈2.png]]
-===$r=6$===
+===<math>r=6</math>===
 [[파일:콕세터 프리즈3.png]]
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 ==성질==
 ===주기성===
-* 각 $m\in I$에 대하여, $T_{m}(u+(r+3))=T_{m}(u)$이 성립한다
+* 각 <math>m\in I</math>에 대하여, <math>T_{m}(u+(r+3))=T_{m}(u)</math>이 성립한다
 ===정수 수열===
-* 모든 $T_{m}(u)$, $u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$, $m\in I$가 정수가 될 필요충분조건은 다음과 같다
+* 모든 <math>T_{m}(u)</math>, <math>u\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>, <math>m\in I</math>가 정수가 될 필요충분조건은 다음과 같다
-$$
+:<math>
 T_{m}(1)|\left(T_{m-1}(1)+T_{m+1}(1)\right)
-$$
+</math>
 ;(정리) 콕세터-콘웨이
 모든 양의 정수로 이루어진 콕세터 프리즈는 정(r+3)-각형의 삼각화로부터 얻어진다
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 ==관련논문==
+* Karin Baur, Klemens Fellner, Mark James Parsons, Manuela Tschabold, Growth behaviour of periodic tame friezes, http://arxiv.org/abs/1603.02127v1
 * '''[H]'''Henry, Claire-Soizic. 2013. “Coxeter Friezes and Triangulations of Polygons.” American Mathematical Monthly 120 (6): 553–558. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.06.553.
 * Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns.” The Mathematical Gazette 57 (400) (June 1): 87–94. doi:10.2307/3615344.
 * Conway, J. H., and H. S. M. Coxeter. 1973. “Triangulated Polygons and Frieze Patterns (Continued).” The Mathematical Gazette 57 (401) (October 1): 175–183. doi:10.2307/3615561.
 * Coxeter, H. S. M. 1971. “Frieze Patterns.” Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica 18: 297–310. https://eudml.org/doc/204992

"콕세터 프리즈"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 14일 (토) 00:39 기준 최신판

목차

개요

예

\(r=2\)

\(r=3\)

\(r=4\)

\(r=6\)

성질

주기성

정수 수열

관련된 항목들

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관련도서

리뷰, 에세이, 강의노트

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