"격자의 세타함수"의 두 판 사이의 차이

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*  격자가 정수집합 <math>\mathbb Z</math> 로 주어진 경우의 세타함수
 
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\theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}=  \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}
 
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* 이는 [[자코비 세타함수]]이며, 다음의 변환 성질을 만족한다
 
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\theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau})
 
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==세타함수의 모듈라 성질==
 
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유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$의 격자 $L$과 쌍대 $L^{*}$에 대하여 다음이 성립한다 :
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\theta_{L}(-\frac{1}{\tau})=(\frac{\tau}{i})^{n/2}\frac{1}{\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/L)} \theta_{L^{*}}({\tau})
 
\theta_{L}(-\frac{1}{\tau})=(\frac{\tau}{i})^{n/2}\frac{1}{\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/L)} \theta_{L^{*}}({\tau})
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2020년 11월 16일 (월) 03:56 기준 최신판

정의

  • 격자 \(L\subseteq \mathbb{R}^n\) 에 대하여 세타함수를 다음과 같이 정의함

\[\theta_L(\tau)=\sum_{x\in L}q^{\frac{x^2}{2}}, \quad q=e^{2\pi i \tau}\] 여기서 \(x^2\) 은 벡터 \(x\)의 norm 을 가리킴.



예

1차원 격자 \(\mathbb{Z}\)

  • 격자가 정수집합 \(\mathbb Z\) 로 주어진 경우의 세타함수

\[ \theta(\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}q^{\frac{n^2}{2}}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau} \]

\[ \theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau}) \]


세타함수의 모듈라 성질

정리

유클리드 공간 \(\mathbb{R}^n\)의 격자 \(L\)과 쌍대 \(L^{*}\)에 대하여 다음이 성립한다 : \[ \theta_{L}(-\frac{1}{\tau})=(\frac{\tau}{i})^{n/2}\frac{1}{\operatorname{vol}(\mathbb{R}^n/L)} \theta_{L^{*}}({\tau}) \]

증명

포아송의 덧셈 공식으로부터 얻어진다. ■


메모


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

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