"교대다항식(alternating polynomial)"의 두 판 사이의 차이

2011년 12월 8일 (목) 18:03 판

다항식 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 이 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 중에서 두 변수를 바꾸는 permutation 즉 transpotision 에 의해 부호가 바뀔 때, 이를 교대다항식이라 한다
반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 에서 나타나는 반데몬드 다항식과 대칭다항식의 곱으로 표현된다

반데몬드 행렬
\(\left( \begin{array}{ccc} x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\)
5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다
\(\left( \begin{array}{ccc} x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)\)
일반적으로 parts가 3인 분할 \(\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0\)에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다
\(\left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)\)
일반적으로 분할 \(\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0\) 에 대하여도 같은 방식으로 행렬을 정의할 수 있고, 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다

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 *  5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다<br><math>\left( \begin{array}{ccc}  x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \\  x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\  x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)</math><br>
 *  일반적으로 parts가 3인 분할 <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0</math>에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다<br><math>\left( \begin{array}{ccc}  x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\  x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\  x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)</math><br>
-*  일반적으로 분할  <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0</math>  에 대하여도 같은 방식으로 행렬을 정의할 수 있고, 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다<br>  <br>
+* 일반적으로 분할  <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0</math>  에 대하여도 같은 방식으로 행렬을 정의할 수 있고, 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다
+<h5>인수분해에의 응용</h5>
+* <math>a^5(b-c)+b^5(c-a)+c^5(a-b)</math>