"교대다항식(alternating polynomial)"의 두 판 사이의 차이

2012년 10월 21일 (일) 16:16 판

다항식 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 이 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 중에서 두 변수를 바꾸는 permutation 즉 transpotision 에 의해 부호가 바뀔 때, 이를 교대다항식이라 한다
반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 에서 나타나는 반데몬드 다항식과 대칭다항식의 곱으로 표현된다

반데몬드 행렬
$\left( \begin{array}{ccc} x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$
5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다
$\left( \begin{array}{ccc} x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)$
일반적으로 parts가 3인 분할 $\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0$에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다
$\left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)$
일반적으로 분할 $\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0$ 에 대하여도 같은 방식으로 행렬 $(x_j^{\lambda _i+n-i})$ 을 정의할 수 있고, 그 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다

$f(a,b,c)=a^5(b-c)+b^5(c-a)+c^5(a-b)$
교대식이므로, $V(a,b,c)=(a-b)(b-c)(c-a)$ 를 인수로 갖는다
$f/V$ 는 3차의 동차 대칭다항식이므로, 적당한 상수 A,B,C 에 대하여 $f/V = A(a+b+c)^3+B(a b+b c+c a)(a +b+ c)+C a b c$ 꼴로 쓰여진다
$A=-1,B=2,C=-1$ 이다

@@ 22번째 줄: / 22번째 줄: @@
 *  5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다<br><math>\left( \begin{array}{ccc}  x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \\  x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\  x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)</math><br>
 *  일반적으로 parts가 3인 분할 <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0</math>에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다<br><math>\left( \begin{array}{ccc}  x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\  x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\  x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)</math><br>
-* 일반적으로 분할  <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0</math>  에 대하여도 같은 방식으로 행렬을 정의할 수 있고, 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다
+* 일반적으로 분할  <math>\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0</math>  에 대하여도 같은 방식으로 행렬 $(x_j^{\lambda _i+n-i})$ 을 정의할 수 있고, 그 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다
 ==인수분해에의 응용==