"교대다항식(alternating polynomial)"의 두 판 사이의 차이

2012년 11월 2일 (금) 08:44 판

다항식 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 이 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 중에서 두 변수를 바꾸는 permutation 즉 transpotision 에 의해 부호가 바뀔 때, 이를 교대다항식이라 한다
반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix) 에서 나타나는 반데몬드 다항식과 대칭다항식의 곱으로 표현된다

반데몬드 행렬
$\left( \begin{array}{ccc} x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)$
5의 분할 {3, 1, 1} 에 대하여 반데몬드 행렬로부터 다음과 같은 행렬을 만들면, 행렬식은 교대다항식이 된다
$\left( \begin{array}{ccc} x_1^5 & x_2^5 & x_3^5 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right)$
일반적으로 parts가 3인 분할 $\lambda : \lambda_{1}\geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3}\geq 0$에 대하여, 다음과 같은 3×3 행렬을 정의할 수 있다
$\left( \begin{array}{ccc} x_1^{\lambda _1+2} & x_2^{\lambda _1+2} & x_3^{\lambda _1+2} \\ x_1^{\lambda _2+1} & x_2^{\lambda _2+1} & x_3^{\lambda _2+1} \\ x_1^{\lambda _3} & x_2^{\lambda _3} & x_3^{\lambda _3} \end{array} \right)$
일반적으로 분할 $\lambda : \lambda_{1}\geq \cdots \geq \lambda_{n}\geq 0$ 에 대하여도 같은 방식으로 행렬 $\left(x_j^{\lambda _i+n-i}\right)_{1\le i,j\le n}$을 정의할 수 있고, 그 행렬식으로부터 교대다항식을 얻는다

$f(a,b,c)=a^5(b-c)+b^5(c-a)+c^5(a-b)$
교대식이므로, $V(a,b,c)=(a-b)(b-c)(c-a)$ 를 인수로 갖는다
$f/V$ 는 3차의 동차 대칭다항식이므로, 적당한 상수 A,B,C 에 대하여 $f/V = A(a+b+c)^3+B(a b+b c+c a)(a +b+ c)+C a b c$ 꼴로 쓰여진다
$A=-1,B=2,C=-1$ 이다

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-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
-* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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