Longest element of Weyl groups

개요

• \(\Sigma\) : 루트시스템의 fundamental system
• 루트시스템 \(\Delta=\Delta^{+}\sqcup\Delta^{-}\)
• 바일 군의 원소 중에서 length가 가장 큰 원소 \(w_\circ\)
  • \(\ell(w_{\circ})=N=|\Delta^{+}|\)
  • length에 가장 큰 조건은 이러한 원소를 유일하게 결정함
• 루트 시스템의 positive system 을 negative system으로 보낸다
• 다음의 루트 시스템에 대해, non-trivial diagram automorphism 을 얻을 수 있다
  • \(A_n, n\in \mathbb{Z}\)
  • \(E_6\)
  • \(D_n, n\in 2\mathbb{Z}+1\)
• 특별한 콕세터 원소(Coxeter element) 의 곱으로 얻어짐

\(A_2\) 의 예

• \(w_\circ=s_1s_2s_1\) 가 longest element
• \(\left\{\alpha _1,\alpha _2\right\}\)를 \(\left\{-\alpha _2,-\alpha _1\right\}\)로 보낸다

\(A_3\) 의 예

• \(w_\circ=s_2s_1s_3s_2s_1s_3\) 가 longest element
• \(\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3\right\}\)를 \(\left\{-\alpha _3,-\alpha _2,-\alpha _1\right\}\)로 보낸다

\(D_5\) 의 예

• longest element 는 \(w_{\circ}=s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5s_1s_3s_2s_4s_5\)
• \(\left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _3,\alpha _4,\alpha _5\right\}\)를 \(\left\{-\alpha _1,-\alpha _2,-\alpha _3,-\alpha _5,-\alpha _4\right\}\)로 보낸다

메모

• http://mathoverflow.net/questions/54926/longest-element-of-weyl-groups
• http://mathoverflow.net/questions/75231/longest-element-of-a-weyl-group

관련된 항목들

• 콕세터 원소(Coxeter element)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNmtMMVlBdGRyWWM/edit