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==개요==
  
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*  Göllnitz:<math>1+q+{q^{2} \over 1+q^{3} + } {q^{4} \over 1+q^{5}+} {q^{6} \over \cdots}=\frac{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{4};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{4};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}=\frac{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}</math>
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* '''[Gordon1965]'''
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:<math>1+{q \over 1+q^2 + } {q^3 \over 1+q^4+} {q^5 \over 1+q^6}  \cdots=\frac{(q^{2};q^{8})_{\infty}(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}(q^{6};q^{8})_{\infty}}</math>
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==라마누잔의 결과==
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*  Berndt, notebook V entry 22 p. 50:<math>{1 \over 1+} {q+q^2 \over 1+} {q^4 \over 1+} {q^3+q^6 \over 1+}{q^8 \over 1+\cdots} =\frac{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}</math>
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==모듈라 함수==
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*  fractional power
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:<math>{q^{1/2} \over 1+q+} {q^2 \over 1+q^3 + } {q^4 \over 1+q^5 + } {q^6 \over 1+q^7+\cdots} =q^{1/2}\frac{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}</math>
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* '''[Duke2005] '''(9.4)
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==메모==
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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==관련된 항목들==
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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* W. Duke '''[Duke2005]'''[http://www.ams.org/bull/2005-42-02/S0273-0979-05-01047-5/home.html#References Continued fractions and modular functions], Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162
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==관련논문==
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* '''[Gordon1965]''' Basil Gordon [http://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077376080 Some continued fractions of the Rogers-Ramanujan type],  Duke Math. J. Volume 32, Number 4 (1965), 741-748.
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[[분류:q-급수]]
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[[분류:연분수]]

2020년 12월 28일 (월) 01:59 기준 최신판

개요

  • Göllnitz\[1+q+{q^{2} \over 1+q^{3} + } {q^{4} \over 1+q^{5}+} {q^{6} \over \cdots}=\frac{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{4};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{4};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}=\frac{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}\]
  • [Gordon1965]

\[1+{q \over 1+q^2 + } {q^3 \over 1+q^4+} {q^5 \over 1+q^6} \cdots=\frac{(q^{2};q^{8})_{\infty}(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}(q^{6};q^{8})_{\infty}}\]



라마누잔의 결과

  • Berndt, notebook V entry 22 p. 50\[{1 \over 1+} {q+q^2 \over 1+} {q^4 \over 1+} {q^3+q^6 \over 1+}{q^8 \over 1+\cdots} =\frac{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}\]




모듈라 함수

  • fractional power

\[{q^{1/2} \over 1+q+} {q^2 \over 1+q^3 + } {q^4 \over 1+q^5 + } {q^6 \over 1+q^7+\cdots} =q^{1/2}\frac{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}\]

  • [Duke2005] (9.4)



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