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<math>\mbox{Li}_{2}(-1)</math> 의 계산
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반전공식에 <math>x=-1</math> 을 대입하여 얻을 수 있다.
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})</math> 의 계산
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})</math> 계산
  
오일러의 반사공식에서 <math>x=\frac{1}{2}</math> 를 대입하여 얻을 수 있다.
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오일러의 반사공식에서 <math>x=\frac{1}{2}</math> 대입하여 얻을 수 있다.
  
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<math>\zeta(2)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math> 와 
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<math>\frac{\pi^2}{12}=\sum_{1}^{\infty}\frac{2}{(2n)^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1+(-1)^n}{n^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}</math>
 
<math>\frac{\pi^2}{12}=\sum_{1}^{\infty}\frac{2}{(2n)^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1+(-1)^n}{n^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}</math>
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})</math> 과 <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})</math> 의 계산
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})</math> <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})</math> 계산
  
오일러의 반사공식에 <math>x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}</math>을 대입하면 다음을 얻는다.
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오일러의 반사공식에 <math>x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}</math>을 대입하면 다음을 얻는다.
  
 
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\log(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\log(\frac{3-\sqrt{5}}{2})</math>
 
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\log(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\log(\frac{3-\sqrt{5}}{2})</math>
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<math>\mbox{Li}_2 (\frac{-x}{1-x})+\frac{1}{2}\mbox{Li}_2(x^2)-\mbox{Li}_2(-x) =-\frac{1}{2}(\log(1-x))^2</math>
 
<math>\mbox{Li}_2 (\frac{-x}{1-x})+\frac{1}{2}\mbox{Li}_2(x^2)-\mbox{Li}_2(-x) =-\frac{1}{2}(\log(1-x))^2</math>
  
여기에 <math>x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math>을 대입하면 다음을 얻는다.
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여기에 <math>x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math>을 대입하면 다음을 얻는다.
  
 
<math>\frac{3}{2}\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})-\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math>
 
<math>\frac{3}{2}\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})-\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math>
  
 
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이제 위에서 얻어진 두 식을 통해 원하는 값을 계산할 수 있다. 
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})</math> 의 계산
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})</math> 계산
  
제곱공식<math>\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))</math> 에 <math>x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math> 를 대입하면, 
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제곱공식<math>\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))</math> <math>x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math> 대입하면,  
  
<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) =2(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}))</math> 를 얻는다.
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) =2(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}))</math> 얻는다.
 
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})</math> 의 계산
 
 
 
반전공식에 <math>x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}</math>를 대입하면, <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math> 를 얻는다.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
==역사==
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})</math> 의 계산
  
 
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반전공식에 <math>x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}</math>를 대입하면, <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math> 를 얻는다.
  
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
+
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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==메모==
 
==메모==
  
 
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
  
* [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]<br>
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* [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]
 
+
 
 
  
 
==수학용어번역==
 
==수학용어번역==
 +
* {{학술용어집|url=special}}
 +
  
* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
+
[[분류:다이로그]]
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==사전 형태의 자료==
 
 
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==관련논문==
 
 
 
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
* http://www.ams.org/mathscinet
 
* http://dx.doi.org/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==관련도서==
 
 
 
*  도서내검색<br>
 
** http://books.google.com/books?q=
 
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
*  도서검색<br>
 
** http://books.google.com/books?q=
 
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==관련기사==
 
 
 
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==블로그==
 
 
 
*  구글 블로그 검색<br>
 
** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
 
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
 
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
 
* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]
 

2020년 12월 28일 (월) 03:11 기준 최신판

개요



special value의 계산

\(\mbox{Li}_{2}(-1)\) 의 계산

반전공식에 \(x=-1\) 을 대입하여 얻을 수 있다.



\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})\) 의 계산

오일러의 반사공식에서 \(x=\frac{1}{2}\) 를 대입하여 얻을 수 있다.

또는

\(\zeta(2)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\) 와

\(\frac{\pi^2}{12}=\sum_{1}^{\infty}\frac{2}{(2n)^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1+(-1)^n}{n^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\)

를 이용하여 보일 수 있다.



\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})\) 과 \(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\) 의 계산

오일러의 반사공식에 \(x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)을 대입하면 다음을 얻는다.

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\log(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\log(\frac{3-\sqrt{5}}{2})\)

란덴의 항등식과 제곱공식을 활용하면 다음과 같은 항등식을 얻을 수 있다.

\(\mbox{Li}_2 (\frac{-x}{1-x})+\frac{1}{2}\mbox{Li}_2(x^2)-\mbox{Li}_2(-x) =-\frac{1}{2}(\log(1-x))^2\)

여기에 \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)을 대입하면 다음을 얻는다.

\(\frac{3}{2}\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})-\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)


이제 위에서 얻어진 두 식을 통해 원하는 값을 계산할 수 있다.



\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})\) 의 계산

제곱공식\(\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))\) 에 \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) 를 대입하면,

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) =2(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}))\) 를 얻는다.



\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})\) 의 계산

반전공식에 \(x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\)를 대입하면, \(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\) 를 얻는다.




메모

관련된 항목들


수학용어번역

  • special - 대한수학회 수학용어집