"안장점 근사"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
|||
| (사용자 3명의 중간 판 19개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
* 복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나 | * 복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나 | ||
| − | * | + | * 복소함수 <math>f(z)</math>에 대하여 <math>f'\left(z_0\right)=0</math>인 <math>z=z_0</math>를 '''안장점'''이라 하며, 안장점 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다 :<math>f(z)=f\left(z_0\right)+\frac{1}{2}f''\left(z_0\right)\left(z-z_0\right){}^2+\cdots</math> |
| − | * | + | * 최대값 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다 |
| − | + | :<math>f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2</math> | |
| − | + | * 일반적으로 N이 클 때, <math>\int e^{Nf(x)}\,dx</math>는 [[가우시안 적분]]으로 근사되며, 다음과 같은 근사식을 얻는다 | |
| + | :<math>\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty</math> | ||
| − | + | ==예1== | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
* [[스털링 공식]] 에서 가져옴 | * [[스털링 공식]] 에서 가져옴 | ||
| − | + | ||
<math>N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx</math> 에서 <math>x=Nz</math> 로 치환하면, | <math>N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx</math> 에서 <math>x=Nz</math> 로 치환하면, | ||
| 33번째 줄: | 24번째 줄: | ||
<math>f''(z) = -\frac{1}{z^2}</math> | <math>f''(z) = -\frac{1}{z^2}</math> | ||
| − | <math> | + | <math>z_ 0=1</math> 일 때, 최대값을 가지며, <math>f (z)\approx -1-\frac{1}{2} (z-1)^2+O[z-1]^3</math> 가 된다. |
따라서 | 따라서 | ||
| − | <math>N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N(z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}</math> | + | <math>N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N (z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}</math> |
| − | + | ==예2== | |
| − | + | * [[에어리 (Airy) 함수와 미분방정식]] | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==역사== | |
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | * http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q= | ||
| − | * [[ | + | * [[수학사 연표]] |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==메모== | |
| − | + | * [http://bolvan.ph.utexas.edu/%7Evadim/Classes/2011f/saddle.pdf http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2011f/saddle.pdf] | |
| − | + | * http://physics.stackexchange.com/questions/14639/how-is-the-saddle-point-approximation-used-in-physics | |
| − | |||
| − | |||
| − | * [http:// | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * | ||
| − | |||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
| + | * [[Oscillatory integral]] | ||
| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | |
| − | |||
| − | |||
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxckFucGVEQlYxXzg/edit?pli=1 | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxckFucGVEQlYxXzg/edit?pli=1 | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트== | |
| + | * http://galileo.phys.virginia.edu/classes/751.mf1i.fall02/ComplexVariable.htm | ||
| + | * http://amath.colorado.edu/courses/4360/2006Spr/Klingenberg.pdf | ||
| + | * [http://amath.colorado.edu/courses/4360/2006Spr/Klingenberg.pdf http://www2.ph.ed.ac.uk/~dmarendu/MOMP/lecture05.pdf] | ||
| + | * [http://bolvan.ph.utexas.edu/%7Evadim/Classes/2011f/saddle.pdf http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2011f/saddle.pdf] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==관련논문== | |
| + | * Explaining the Saddlepoint Approximation | ||
| + | ** Journal article by Constantino Goutis, George Casella; The American Statistician, Vol. 53, 1999 | ||
| + | * <math>\zeta(z)=\int_{0}^{\infty}t^{-z}v(t)dt=\int_{\Omega}f(w)^{-z}\phi(w)dw</math> | ||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | [[분류:적분]] | |
| − | |||
2020년 12월 28일 (월) 02:41 기준 최신판
개요
- 복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나
- 복소함수 \(f(z)\)에 대하여 \(f'\left(z_0\right)=0\)인 \(z=z_0\)를 안장점이라 하며, 안장점 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다 \[f(z)=f\left(z_0\right)+\frac{1}{2}f''\left(z_0\right)\left(z-z_0\right){}^2+\cdots\]
- 최대값 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다
\[f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2\]
- 일반적으로 N이 클 때, \(\int e^{Nf(x)}\,dx\)는 가우시안 적분으로 근사되며, 다음과 같은 근사식을 얻는다
\[\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty\]
예1
- 스털링 공식 에서 가져옴
\(N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx\) 에서 \(x=Nz\) 로 치환하면,
\(N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz\)
\(f \left( z \right) = \ln{z}-z\)
\(f'(z) = \frac{1}{z}-1\)
\(f''(z) = -\frac{1}{z^2}\)
\(z_ 0=1\) 일 때, 최대값을 가지며, \(f (z)\approx -1-\frac{1}{2} (z-1)^2+O[z-1]^3\) 가 된다.
따라서
\(N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N (z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}\)
예2
역사
메모
- http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2011f/saddle.pdf
- http://physics.stackexchange.com/questions/14639/how-is-the-saddle-point-approximation-used-in-physics
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- http://galileo.phys.virginia.edu/classes/751.mf1i.fall02/ComplexVariable.htm
- http://amath.colorado.edu/courses/4360/2006Spr/Klingenberg.pdf
- http://www2.ph.ed.ac.uk/~dmarendu/MOMP/lecture05.pdf
- http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2011f/saddle.pdf
관련논문
- Explaining the Saddlepoint Approximation
- Journal article by Constantino Goutis, George Casella; The American Statistician, Vol. 53, 1999
- \(\zeta(z)=\int_{0}^{\infty}t^{-z}v(t)dt=\int_{\Omega}f(w)^{-z}\phi(w)dw\)