"안장점 근사"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
 
(사용자 2명의 중간 판 17개는 보이지 않습니다)
2번째 줄: 2번째 줄:
  
 
* 복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나
 
* 복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나
−
* 안장점<br> 복소함수 <math>f(z)</math>에 대하여 <math>f'\left(z_ 0\r ight)=0</math>인 <math>z=z_ 0</math>를 안장점이라 한다.<br><math>f(z)=f\left(z_ 0\r ight)+\frac{1}{2}f\text{''}\left(z_ 0\r ight)\left(z-z_ 0\r ight){}^2+\cdots</math> 이므로 가우시안 적분으로 근사된다.
+
* 복소함수 <math>f(z)</math>에 대하여 <math>f'\left(z_0\right)=0</math>인 <math>z=z_0</math>를 '''안장점'''이라 하며, 안장점 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다 :<math>f(z)=f\left(z_0\right)+\frac{1}{2}f''\left(z_0\right)\left(z-z_0\right){}^2+\cdots</math>  
−
* 일반적으로 N이 클 때, 다음과 같은 근사식이 성립한다<br><math>\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_ 0)|}}}e^{Nf(x_ 0)}\textrm{ as }N\to\infty</math><br> 최대값 부근에서의 테일러 전개 <math>f (x)\approx f(x_ 0)-\frac{1}{2}|f''(x_ 0)|(x-x_ 0)^2</math>를 이용<br>
+
* 최대값 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다
−
 
+
:<math>f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2</math>
−
+
* 일반적으로 N이 클 때, <math>\int e^{Nf(x)}\,dx</math>는 [[가우시안 적분]]으로 근사되며, 다음과 같은 근사식을 얻는다
−
 
+
:<math>\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty</math>
−
 
−
 
 
−
 
  
 
==예1==
 
==예1==
19번째 줄: 16번째 줄:
 
<math>N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx</math> 에서 <math>x=Nz</math> 로 치환하면,
 
<math>N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx</math> 에서 <math>x=Nz</math> 로 치환하면,
  
−
<math>N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \r ight)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz</math>
+
<math>N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz</math>
  
−
<math>f \left( z \r ight) = \ln{z}-z</math>
+
<math>f \left( z \right) = \ln{z}-z</math>
  
 
<math>f'(z) = \frac{1}{z}-1</math>
 
<math>f'(z) = \frac{1}{z}-1</math>
32번째 줄: 29번째 줄:
  
 
<math>N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N (z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}</math>
 
<math>N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N (z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}</math>
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
−
 
  
 
==예2==
 
==예2==
56번째 줄: 47번째 줄:
  
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+
* [[수학사 연표]]
  
 
   
 
   
65번째 줄: 56번째 줄:
  
 
* [http://bolvan.ph.utexas.edu/%7Evadim/Classes/2011f/saddle.pdf http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2011f/saddle.pdf]
 
* [http://bolvan.ph.utexas.edu/%7Evadim/Classes/2011f/saddle.pdf http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2011f/saddle.pdf]
−
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
+
* http://physics.stackexchange.com/questions/14639/how-is-the-saddle-point-approximation-used-in-physics
−
 
 
−
 
  
−
 
  
 
==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
 +
* [[Oscillatory integral]]
  
−
+
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
−
 
 
−
 
 
−
==수학용어번역==
 
−
 
 
−
*  단어사전<br>
 
−
** http://translate.google.com/#en|ko|
 
−
** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 
−
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
−
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
 
  
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxckFucGVEQlYxXzg/edit?pli=1
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxckFucGVEQlYxXzg/edit?pli=1
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* http://functions.wolfram.com/
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
−
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
−
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
  
−
 
 
  
−
 
+
  
−
 
+
  
−
<h5>사전 형태의 자료</h5>
+
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 +
* http://galileo.phys.virginia.edu/classes/751.mf1i.fall02/ComplexVariable.htm
 +
* http://amath.colorado.edu/courses/4360/2006Spr/Klingenberg.pdf
 +
* [http://amath.colorado.edu/courses/4360/2006Spr/Klingenberg.pdf http://www2.ph.ed.ac.uk/~dmarendu/MOMP/lecture05.pdf]
 +
* [http://bolvan.ph.utexas.edu/%7Evadim/Classes/2011f/saddle.pdf http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Classes/2011f/saddle.pdf]
  
−
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
−
* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
  
−
 
 
  
−
 
+
  
−
<h5>리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>
+
  
−
 
+
==관련논문==
 +
*  Explaining the Saddlepoint Approximation
 +
** Journal article by Constantino Goutis, George Casella; The American Statistician, Vol. 53, 1999
 +
* <math>\zeta(z)=\int_{0}^{\infty}t^{-z}v(t)dt=\int_{\Omega}f(w)^{-z}\phi(w)dw</math>
  
−
 
 
  
−
 
+
   
−
 
+
[[분류:적분]]
−
<h5>관련논문</h5>
 
−
 
 
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
−
* http://www.ams.org/mathscinet
 
−
* http://dx.doi.org/
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5>관련도서</h5>
 
−
 
 
−
* 도서내검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 

2020년 12월 28일 (월) 02:41 기준 최신판

개요

  • 복소함수 적분의 근사에 사용되는 테크닉의 하나
  • 복소함수 \(f(z)\)에 대하여 \(f'\left(z_0\right)=0\)인 \(z=z_0\)를 안장점이라 하며, 안장점 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다 \[f(z)=f\left(z_0\right)+\frac{1}{2}f''\left(z_0\right)\left(z-z_0\right){}^2+\cdots\]
  • 최대값 부근에서의 테일러 전개는 다음과 같다

\[f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2\]

  • 일반적으로 N이 클 때, \(\int e^{Nf(x)}\,dx\)는 가우시안 적분으로 근사되며, 다음과 같은 근사식을 얻는다

\[\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty\]

예1


\(N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx\) 에서 \(x=Nz\) 로 치환하면,

\(N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz\)

\(f \left( z \right) = \ln{z}-z\)

\(f'(z) = \frac{1}{z}-1\)

\(f''(z) = -\frac{1}{z^2}\)

\(z_ 0=1\) 일 때, 최대값을 가지며, \(f (z)\approx -1-\frac{1}{2} (z-1)^2+O[z-1]^3\) 가 된다.

따라서

\(N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N (z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}\)

예2





역사



메모


관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스




리뷰논문, 에세이, 강의노트




관련논문

  • Explaining the Saddlepoint Approximation
    • Journal article by Constantino Goutis, George Casella; The American Statistician, Vol. 53, 1999
  • \(\zeta(z)=\int_{0}^{\infty}t^{-z}v(t)dt=\int_{\Omega}f(w)^{-z}\phi(w)dw\)
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=안장점_근사&oldid=48129"