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==개요==
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* <math>P^{(d)}</math> : 차수가 <math>d</math>인 <math>n</math>변수 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)]]이 이루는 <math>\mathbb{C}[x_1,\cdots, x_n]</math>의 부분공간
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* [[라플라시안(Laplacian)]] <math>\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}</math>를 다음과 같이 정의
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:<math>\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}</math>
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* <math>\mathcal{H}^{(d)}:=\ker \Delta </math>의 원소를 <math>d</math>차 조화다항식이라 한다
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* 차원
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:<math>
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\dim \mathcal{H}^{(d)}=\binom{n+d-1}{d}-\binom{n+d-3}{d-2}
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</math>
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* <math>n=3</math>일 때, 조화다항식의 정의역을 단위구면 <math>S^2</math>에 제한하여, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다
  
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==예==
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* 아래에서는 세 변수의 경우, 즉 <math>n=3</math>인 경우
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===2차 조화다항식===
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:<math>\begin{array}{l}  x^2-y^2 \\  x y \\  x z \\  y z \\  y^2-z^2 \end{array}</math>
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===3차 조화다항식===
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:<math>\begin{array}{l}  -3 x^2 z+z^3 \\  -x^2 y+y z^2 \\  -x^3+3 x z^2 \\  -x^2 z+y^2 z \\  x y z \\  -3 x^2 y+y^3 \\  -x^3+3 x y^2 \end{array}</math>
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==조화다항식과 구면조화함수==
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* <math>\mathbb{C}[x,y,z]</math>의 원소인 조화다항식을 단위구면 <math>S^2\subset \mathbb{R}^3</math>에서 정의된 함수로 볼 때, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다
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===예===
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*  2차인 조화함수 <math>-x^2+2 i x y+y^2</math>
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*  단위구면 ([[구면좌표계]] 참조) <math>x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )</math>
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* 다음을 얻는다
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:<math>
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-x^2+2 i x y+y^2=\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta )
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</math>
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* 이는 <math>Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)</math> 의 상수배이다
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==메모==
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* http://mathoverflow.net/questions/78660/basis-for-the-space-of-harmonic-homogeneous-polynomial-in-n-variables
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==관련된 항목들==
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* [[구면조화함수(spherical harmonics)]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZTYxMGVkMjYtNTRhZS00YWJiLWEwMDktMjNmOGEwYjAwYzUx&sort=name&layout=list&num=50
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==관련논문==
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* Brackx, Fred, Hennie De Schepper, David Eelbode, Roman Lavicka, and Vladimir Soucek. ‘Fundaments of Quaternionic Clifford Analysis III: Fischer Decomposition in Symplectic Harmonic Analysis’. arXiv:1404.3625 [math], 14 April 2014. http://arxiv.org/abs/1404.3625.

2020년 12월 28일 (월) 03:56 기준 최신판

개요

\[\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\]

  • \(\mathcal{H}^{(d)}:=\ker \Delta \)의 원소를 \(d\)차 조화다항식이라 한다
  • 차원

\[ \dim \mathcal{H}^{(d)}=\binom{n+d-1}{d}-\binom{n+d-3}{d-2} \]

예

  • 아래에서는 세 변수의 경우, 즉 \(n=3\)인 경우

2차 조화다항식

\[\begin{array}{l} x^2-y^2 \\ x y \\ x z \\ y z \\ y^2-z^2 \end{array}\]


3차 조화다항식

\[\begin{array}{l} -3 x^2 z+z^3 \\ -x^2 y+y z^2 \\ -x^3+3 x z^2 \\ -x^2 z+y^2 z \\ x y z \\ -3 x^2 y+y^3 \\ -x^3+3 x y^2 \end{array}\]


조화다항식과 구면조화함수

예

  • 2차인 조화함수 \(-x^2+2 i x y+y^2\)
  • 단위구면 (구면좌표계 참조) \(x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )\)
  • 다음을 얻는다

\[ -x^2+2 i x y+y^2=\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \]

  • 이는 \(Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)\) 의 상수배이다



메모


관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

  • Brackx, Fred, Hennie De Schepper, David Eelbode, Roman Lavicka, and Vladimir Soucek. ‘Fundaments of Quaternionic Clifford Analysis III: Fischer Decomposition in Symplectic Harmonic Analysis’. arXiv:1404.3625 [math], 14 April 2014. http://arxiv.org/abs/1404.3625.
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