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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
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==개요==
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* <math>P^{(d)}</math> : 차수가 <math>d</math>인 <math>n</math>변수 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)]]이 이루는 <math>\mathbb{C}[x_1,\cdots, x_n]</math>의 부분공간
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* [[라플라시안(Laplacian)]] <math>\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}</math>를 다음과 같이 정의
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:<math>\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}</math>
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* <math>\mathcal{H}^{(d)}:=\ker \Delta </math>의 원소를 <math>d</math>차 조화다항식이라 한다
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* 차원
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:<math>
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\dim \mathcal{H}^{(d)}=\binom{n+d-1}{d}-\binom{n+d-3}{d-2}
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</math>
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* <math>n=3</math>일 때, 조화다항식의 정의역을 단위구면 <math>S^2</math>에 제한하여, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다
  
* [[조화다항식(harmonic polynomial)]]
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==예==
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* 아래에서는 세 변수의 경우, 즉 <math>n=3</math>인 경우
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===2차 조화다항식===
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:<math>\begin{array}{l}  x^2-y^2 \\  x y \\  x z \\  y z \\  y^2-z^2 \end{array}</math>
  
 
 
  
 
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===3차 조화다항식===
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:<math>\begin{array}{l}  -3 x^2 z+z^3 \\  -x^2 y+y z^2 \\  -x^3+3 x z^2 \\  -x^2 z+y^2 z \\  x y z \\  -3 x^2 y+y^3 \\  -x^3+3 x y^2 \end{array}</math>
  
<h5>개요</h5>
 
  
* 아래에서는 세 변수의 경우를 다룸
 
* <math>P^{(l)}</math> : R^3에서 차수가 l인 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)|동차다항식]]이 이루는 벡터공간
 
* [[라플라시안(Laplacian)]]<br><math>\Delta : P^{(l)} \to P^{(l-2)}</math><br>
 
* <math>\ker \Delta = H^{(l)}</math> 를 R^3의 l차 조화다항식이라 한다
 
* 조화다항식의 정의역을 단위구면 <math>S^2</math>에 제한할 때, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다
 
  
 
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==조화다항식과 구면조화함수==
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* <math>\mathbb{C}[x,y,z]</math>의 원소인 조화다항식을 단위구면 <math>S^2\subset \mathbb{R}^3</math>에서 정의된 함수로 볼 때, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다
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===예===
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*  2차인 조화함수 <math>-x^2+2 i x y+y^2</math>
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*  단위구면 ([[구면좌표계]] 참조) <math>x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )</math>
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* 다음을 얻는다
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:<math>
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-x^2+2 i x y+y^2=\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta )
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</math>
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* 이는 <math>Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)</math> 의 상수배이다
  
 
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<h5>예 : 2차 조화다항식</h5>
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<math>\begin{array}{l}  x^2-y^2 \\  x y \\  x z \\  y z \\  y^2-z^2 \end{array}</math>
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==메모==
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* http://mathoverflow.net/questions/78660/basis-for-the-space-of-harmonic-homogeneous-polynomial-in-n-variables
  
 
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==관련된 항목들==
 
 
<h5>예 : 3차 조화다항식</h5>
 
 
 
<math>\begin{array}{l}  -3 x^2 z+z^3 \\  -x^2 y+y z^2 \\  -x^3+3 x z^2 \\  -x^2 z+y^2 z \\  x y z \\  -3 x^2 y+y^3 \\  -x^3+3 x y^2 \end{array}</math>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">조화다항식과 구면조화함수</h5>
 
 
 
*  조화다항식을 단위구면에서 정의된 함수로 볼 때, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다<br>
 
*  예<br>
 
**  2차인 조화함수 <math>-x^2+2 i x y+y^2</math><br>
 
**  단위구면 ([[구면좌표계]] 참조) <math>x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )</math><br>
 
** <math>\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta )</math>는 <math>Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)</math> 의 상수배이다<br>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>역사</h5>
 
 
 
 
 
 
 
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>메모</h5>
 
 
 
 
 
 
 
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>관련된 항목들</h5>
 
  
 
* [[구면조화함수(spherical harmonics)]]
 
* [[구면조화함수(spherical harmonics)]]
  
 
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<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZTYxMGVkMjYtNTRhZS00YWJiLWEwMDktMjNmOGEwYjAwYzUx&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZTYxMGVkMjYtNTRhZS00YWJiLWEwMDktMjNmOGEwYjAwYzUx&sort=name&layout=list&num=50
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://functions.wolfram.com/
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
 
 
*  단어사전<br>
 
** http://translate.google.com/#en|ko|
 
** http://ko.wiktionary.org/wiki/
 
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
 
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>사전 형태의 자료</h5>
 
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
<h5>관련논문</h5>
 
 
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
* http://www.ams.org/mathscinet
 
* http://dx.doi.org/
 
 
 
 
 
 
 
  
<h5>관련도서</h5>
 
  
*  도서내검색<br>
+
==관련논문==
** http://books.google.com/books?q=
+
* Brackx, Fred, Hennie De Schepper, David Eelbode, Roman Lavicka, and Vladimir Soucek. ‘Fundaments of Quaternionic Clifford Analysis III: Fischer Decomposition in Symplectic Harmonic Analysis’. arXiv:1404.3625 [math], 14 April 2014. http://arxiv.org/abs/1404.3625.
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 

2020년 12월 28일 (월) 03:56 기준 최신판

개요

\[\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\]

  • \(\mathcal{H}^{(d)}:=\ker \Delta \)의 원소를 \(d\)차 조화다항식이라 한다
  • 차원

\[ \dim \mathcal{H}^{(d)}=\binom{n+d-1}{d}-\binom{n+d-3}{d-2} \]

  • 아래에서는 세 변수의 경우, 즉 \(n=3\)인 경우

2차 조화다항식

\[\begin{array}{l} x^2-y^2 \\ x y \\ x z \\ y z \\ y^2-z^2 \end{array}\]


3차 조화다항식

\[\begin{array}{l} -3 x^2 z+z^3 \\ -x^2 y+y z^2 \\ -x^3+3 x z^2 \\ -x^2 z+y^2 z \\ x y z \\ -3 x^2 y+y^3 \\ -x^3+3 x y^2 \end{array}\]


조화다항식과 구면조화함수

  • 2차인 조화함수 \(-x^2+2 i x y+y^2\)
  • 단위구면 (구면좌표계 참조) \(x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )\)
  • 다음을 얻는다

\[ -x^2+2 i x y+y^2=\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \]

  • 이는 \(Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)\) 의 상수배이다



메모


관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

  • Brackx, Fred, Hennie De Schepper, David Eelbode, Roman Lavicka, and Vladimir Soucek. ‘Fundaments of Quaternionic Clifford Analysis III: Fischer Decomposition in Symplectic Harmonic Analysis’. arXiv:1404.3625 [math], 14 April 2014. http://arxiv.org/abs/1404.3625.