"조화다항식(harmonic polynomial)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
 
(같은 사용자의 중간 판 7개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 
==개요==
 
==개요==
 +
* <math>P^{(d)}</math> : 차수가 <math>d</math>인 <math>n</math>변수 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)]]이 이루는 <math>\mathbb{C}[x_1,\cdots, x_n]</math>의 부분공간
 +
* [[라플라시안(Laplacian)]] <math>\Delta : P^{(d)} \to P^{(d-2)}</math>를 다음과 같이 정의
 +
:<math>\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}</math>
 +
* <math>\mathcal{H}^{(d)}:=\ker \Delta </math>의 원소를 <math>d</math>차 조화다항식이라 한다
 +
* 차원
 +
:<math>
 +
\dim \mathcal{H}^{(d)}=\binom{n+d-1}{d}-\binom{n+d-3}{d-2}
 +
</math>
 +
* <math>n=3</math>일 때, 조화다항식의 정의역을 단위구면 <math>S^2</math>에 제한하여, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다
  
* 아래에서는 세 변수의 경우를 다룸
+
==예==
* <math>P^{(l)}</math> : R^3에서 차수가 l인 [[동차다항식(Homogeneous polynomial)|동차다항식]]이 이루는 벡터공간
+
* 아래에서는 세 변수의 경우, 즉 <math>n=3</math>인 경우
* [[라플라시안(Laplacian)]]:<math>\Delta : P^{(l)} \to P^{(l-2)}</math><br>
+
* <math>\ker \Delta = H^{(l)}</math> 를 R^3의 l차 조화다항식이라 한다
+
===2차 조화다항식===
* 조화다항식의 정의역을 단위구면 <math>S^2</math>에 제한할 때, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다
+
:<math>\begin{array}{l} x^2-y^2 \\ x y \\  x z \\  y z \\  y^2-z^2 \end{array}</math>
  
 
 
  
 
+
===3차 조화다항식===
 +
:<math>\begin{array}{l}  -3 x^2 z+z^3 \\  -x^2 y+y z^2 \\  -x^3+3 x z^2 \\  -x^2 z+y^2 z \\  x y z \\  -3 x^2 y+y^3 \\  -x^3+3 x y^2 \end{array}</math>
  
==예 : 2차 조화다항식==
 
  
<math>\begin{array}{l}  x^2-y^2 \\  x y \\  x z \\  y z \\  y^2-z^2 \end{array}</math>
 
 
 
 
 
 
 
 
==예 : 3차 조화다항식==
 
 
<math>\begin{array}{l}  -3 x^2 z+z^3 \\  -x^2 y+y z^2 \\  -x^3+3 x z^2 \\  -x^2 z+y^2 z \\  x y z \\  -3 x^2 y+y^3 \\  -x^3+3 x y^2 \end{array}</math>
 
 
 
 
 
 
 
  
 
==조화다항식과 구면조화함수==
 
==조화다항식과 구면조화함수==
 +
* <math>\mathbb{C}[x,y,z]</math>의 원소인 조화다항식을 단위구면 <math>S^2\subset \mathbb{R}^3</math>에서 정의된 함수로 볼 때, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다
 +
===예===
 +
*  2차인 조화함수 <math>-x^2+2 i x y+y^2</math>
 +
*  단위구면 ([[구면좌표계]] 참조) <math>x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )</math>
 +
* 다음을 얻는다
 +
:<math>
 +
-x^2+2 i x y+y^2=\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta )
 +
</math>
 +
* 이는 <math>Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)</math> 의 상수배이다
  
* 조화다항식을 단위구면에서 정의된 함수로 볼 때, [[구면조화함수(spherical harmonics)]] 를 얻는다<br>
+
   
*  예<br>
 
**  2차인 조화함수 <math>-x^2+2 i x y+y^2</math><br>
 
**  단위구면 ([[구면좌표계]] 참조) <math>x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )</math><br>
 
** <math>\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta )</math>는 <math>Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)</math> 의 상수배이다<br>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==역사==
 
 
 
 
 
  
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
+
* [[수학사 연표]]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
==메모==
 
==메모==
 +
* http://mathoverflow.net/questions/78660/basis-for-the-space-of-harmonic-homogeneous-polynomial-in-n-variables
  
 
+
 
 
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
64번째 줄: 46번째 줄:
 
* [[구면조화함수(spherical harmonics)]]
 
* [[구면조화함수(spherical harmonics)]]
  
 
+
  
 
+
  
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 +
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZTYxMGVkMjYtNTRhZS00YWJiLWEwMDktMjNmOGEwYjAwYzUx&sort=name&layout=list&num=50
 +
  
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZTYxMGVkMjYtNTRhZS00YWJiLWEwMDktMjNmOGEwYjAwYzUx&sort=name&layout=list&num=50
+
==관련논문==
 +
* Brackx, Fred, Hennie De Schepper, David Eelbode, Roman Lavicka, and Vladimir Soucek. ‘Fundaments of Quaternionic Clifford Analysis III: Fischer Decomposition in Symplectic Harmonic Analysis’. arXiv:1404.3625 [math], 14 April 2014. http://arxiv.org/abs/1404.3625.

2020년 12월 28일 (월) 03:56 기준 최신판

개요

\[\Delta f = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\]

  • \(\mathcal{H}^{(d)}:=\ker \Delta \)의 원소를 \(d\)차 조화다항식이라 한다
  • 차원

\[ \dim \mathcal{H}^{(d)}=\binom{n+d-1}{d}-\binom{n+d-3}{d-2} \]

  • 아래에서는 세 변수의 경우, 즉 \(n=3\)인 경우

2차 조화다항식

\[\begin{array}{l} x^2-y^2 \\ x y \\ x z \\ y z \\ y^2-z^2 \end{array}\]


3차 조화다항식

\[\begin{array}{l} -3 x^2 z+z^3 \\ -x^2 y+y z^2 \\ -x^3+3 x z^2 \\ -x^2 z+y^2 z \\ x y z \\ -3 x^2 y+y^3 \\ -x^3+3 x y^2 \end{array}\]


조화다항식과 구면조화함수

  • 2차인 조화함수 \(-x^2+2 i x y+y^2\)
  • 단위구면 (구면좌표계 참조) \(x = \sin (\theta ) \cos (\phi ),y= \sin (\theta ) \sin (\phi ),z= \cos (\theta )\)
  • 다음을 얻는다

\[ -x^2+2 i x y+y^2=\sin ^2(\theta ) (-\cos (2 \phi )+i \sin (2 \phi ))=-e^{-2 i \phi } \sin ^2(\theta ) \]

  • 이는 \(Y_{2}^{-2}(\theta,\phi)\) 의 상수배이다



메모


관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


관련논문

  • Brackx, Fred, Hennie De Schepper, David Eelbode, Roman Lavicka, and Vladimir Soucek. ‘Fundaments of Quaternionic Clifford Analysis III: Fischer Decomposition in Symplectic Harmonic Analysis’. arXiv:1404.3625 [math], 14 April 2014. http://arxiv.org/abs/1404.3625.