영거리 과정 - 응집전이

영거리 과정(zero range process; ZRP)에 대한 이전 글들을 참고하세요. 이 글 역시 에반스와 해니의 <저널 오브 피직스 에이>에 실린 리뷰 논문을 따릅니다. 서론은 빼고 일단 가봅시다.

큰 바름틀 분배함수는 다음처럼 씌어집니다.

\(Z_L(z)=[F(z)]^L,\ F(z)=\sum_{m=0}^\infty z^mf(m)\)

이걸 구해야 이로부터 원하는 양들을 얻어낼 수 있는데요, 위의 F를 보면 이게 수렴하는지 아닌지부터 따져봐야 합니다. 이러한 거듭제곱 급수가 어떤 z에서는 수렴하다가도 다른 z에서는 수렴하지 않을 수 있는데 이를 나누는 값을 수렴반지름(radius of convergence)이라 합니다. 수렴반지름이 무한대라면 모든 z에 대해 F는 수렴하는 거고요. F의 수렴반지름을 β라 합시다. 입자의 밀도는 다음과 같습니다.

\(\rho=z\frac{F'(z)}{F(z)}\)

밀도는 z의 증가함수인데 (미분해보면 압니다) z=β에서 최대값을 가집니다.

\(\rho_c=\beta\frac{F'(\beta)}{F(\beta)}\)

그런데 이 ρ_c가 무한하다면 임의의 z에 대해 ρ가 존재하고요. 만일 ρ_c가 유한하다면 이보다 더 큰 밀도에서 위의 식들을 이용할 수 없게 됩니다. 여기서 '응집(condensation)'이 나타난다고 하네요. 쉽게 말해 공간(L)은 한정되어 있는데 입자를 마구 때려넣다(ρ 증가)보면 어떤 자리에 입자들이 많이 몰리기 시작한다는 겁니다. 여기서 '많이'는 입자의 총 개수의 상수배 정도 되는 양입니다. 이렇게 생긴 응집(즉 덩어리)은 위의 분배함수로는 기술할 수 없는 현상인데, 수학적으로는 F가 발산하는 거겠죠.

조금 더 구체적인 예를 봅시다.

\(f(n)\sim \frac{A}{\beta^nn^b}\)

이걸 맨위 F(z)에 넣고 다시 ρ_c를 구하는 식에 넣어주면,

\(\rho_c\sim \frac{\sum n^{1-b}}{\sum n^{-b}}\)

이 나옵니다. b가 2보다 크면 수렴할테고 그러면 앞서 말했듯 ρ를 ρ_c보다 크게 만들면 응집이 나타난다고 볼 수 있겠죠. 이제 각 자리에 있는 입자 개수의 분포 p(n)도 구해봅니다.

\(p(n)=\frac{z^nf(n)}{F(z)}\simeq \frac{(z/\beta)^n}{F(z)}\frac{A}{n^b}\sim n^{-b}e^{-n/n_0},\ n_0=\frac{1}{|\ln (z/\beta)|}\)

b가 2보다 작거나 같은 경우, ρ_c는 발산하며 위 식처럼 절단(cutoff)이 있는 거듭제곱 분포가 나옵니다. z를 적당히 조절하면 임의의 입자 밀도를 원하는대로 만들 수 있지요.

b가 2보다 큰 경우, n^-b의 평균은 유한합니다. 그러므로 z를 β로 접근시켜도 위 분포에 의한 입자 밀도는 유한합니다. 그런데 우리가 입자를 더 때려넣을 수 있으므로 이 추가된 만큼의 입자들을 따로 관리(?)할 필요가 생기는데, 이 잉여;;들이 응집을 이룹니다. 이 응집은 하나의 자리에 모두 모일 수도 있고 여러 자리에 모일 수도 있는데, 간단한 논의로 b>2일 때는 한 자리에 모이는 게 더 가능성이 높다는 얘기를 할 수 있습니다. 이 잉여들이 모두 그 한 자리에 계속 쌓일테니 나머지 다른 공간은 계속 거듭제곱 분포를 따른채로 변하지 않겠죠.

ρ를 조절변수라고 한다면 ρ_c는 임계점인데 ρ가 임계점에서뿐만 아니라 임계점보다 커져도 응집을 제외하면 거듭제곱 분포를 따르는 현상이 관찰됩니다. 이걸 '자기조직화 임계성(SOC)'이라 부르기도 하는 것 같습니다. 뭐 SOC가 아주 한정적으로 쓰이는 건 아니니까 말을 그렇게 붙이는 걸 굳이 반대할 이유는 없지만 좀더 적확한 표현으로 '일반적 규모불변(generic scale invariance)'이라 부르는 게 낫지 않을까 합니다.

앞에서 든 f(n)의 예는 사실 정확하게 풀리는 경우입니다. 보통 f(n)보다는 뜀 비율(hop rate) u(n)이 가장 현상적인 함수인데요, 이 함수가 다음처럼 주어진다고 합시다.

\(u(n)=\beta(1+b/n),\ \forall n>0\)

여기서 b>2라고 합시다. 이로부터 f(n) 구하고 F(z)도 구하고 블라블라 풀면(그 과정에서 Pochhammer 기호도 나오고, 초기하함수도 나옵니다) 임계 밀도를 알 수 있습니다.

\(\rho_c=\frac{1}{b-2}\)

끝.