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Weyl group <math>W=\langle r_{i}|i\in I\rangle</math> | Weyl group <math>W=\langle r_{i}|i\in I\rangle</math> | ||
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==세르 관계식== | ==세르 관계식== | ||
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* 생성원 <math>e_i,h_i,f_i , (i=1,2,\cdots, l)</math> | * 생성원 <math>e_i,h_i,f_i , (i=1,2,\cdots, l)</math> | ||
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2020년 12월 28일 (월) 04:14 기준 최신판
Cartan datum \((A,P^{\vee},P,\Pi^{\vee},\Pi)\)
- \(A=(a_{ij})_{i,j\in I}\) GCM
- \(P^{\vee}=(\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}h_{i})\bigoplus(\bigoplus_{j=1}^{\operatorname{corank}(A)}\mathbb{Z}d_{j})\) : co-weight lattice
- \(\mathfrak{h}=\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}} P^{\vee}\) : Cartan subalgebra
- \(P=\{\lambda\in\mathfrak{h}^{*}|\lambda(P^{\vee})\subset \mathbb{Z}\}\) : weight lattice
- \(\Pi^{\vee}=\{h_{i}|i\in I\}\) : simple coroots
- \(\Pi=\{\alpha_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \alpha_{i}(h_j)=a_{ji}\}\) : simple roots
fundamental weights
\(\{\Lambda_{i}\in\mathfrak{h}^{*}|i\in I, \Lambda_{i}(h_j)=\delta_{ij},\Lambda_{i}(d_j)=0\}\)
\(Q=\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z}\alpha_{i}\) : root lattice
Weyl group \(W=\langle r_{i}|i\in I\rangle\)
세르 관계식
- l : 리대수 \(\mathfrak{g}\)의 rank
- \((a_{ij})\) : 카르탄 행렬
- 생성원 \(e_i,h_i,f_i , (i=1,2,\cdots, l)\)
- 세르 관계식
- \(\left[h_i,h_j\right]=0\)
- \(\left[e_i,f_j\right]=\delta _{i,j}h_i\)
- \(\left[h_i,e_j\right]=a_{i,j}e_j\)
- \(\left[h_i,f_j\right]=-a_{i,j}f_j\)
- \(\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
- \(\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0\) (\(i\neq j\))