"N차원 공의 부피"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
  
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*  반지름 r인 n차원 공이란, n차원에서 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..<br>
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*  반지름 r인 n차원 공(n-ball)이란, n차원 유클리드 공간에서 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
 
** <math>x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ r^2</math>
 
** <math>x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ r^2</math>
 
** 1차원 공= [-r,r]
 
** 1차원 공= [-r,r]
 
** 2차원 공 = 반지름 r인 원판
 
** 2차원 공 = 반지름 r인 원판
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* 1차원 공의 부피는 2r
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* 1차원 공의 부피는 <math>2r</math>
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* 2차원 공의 부피는 pi
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* 2차원 공의 부피는 <math>\pi r^2</math>.
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* 3차원 공의 부피는 <math>\frac{4}{3}\pi r^3</math>.
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* ...
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*  n차원 공의 부피는 얼마가 될까?
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** n이 짝수일 때는, <math>\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}</math>
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** n이 홀수일 때는, <math>\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}</math>
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**  일반적으로는 다음 식으로 표현할 수 있다:<math>\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n</math>
  
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<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
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* [[다변수미적분학]]
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==공식의 유도==
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* [[직교다항식과 special functions|Special functions]]<br>
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** 감마함수
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반지름 1인 n-차원 공의 부피를 <math>\omega_{n}</math> 라 두자. 다음 점화식이 성립한다
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:<math> \omega_{n}=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}</math>:<math> \omega_{n}=\frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}</math>
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\omega_{n} & =\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} \\
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& = \int_{-1}^{1}\left(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2\leq\ 1-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-1}\right)dx_{n} \\
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& = \int_{-1}^{1} \omega_{n-1} \left(1-x_{n}^2\right)^{\frac{n-1}{2}}dx_{n} = \frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)} \omega_{n-1}
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:<math>
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\omega_{n} & =\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} \\
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& = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1}\left(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-2}^2\leq\ 1-x_{n-1}^2-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-2}\right)dx_{n-1} dx_{n} \\
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& = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1} \omega_{n-2} (1-x_{n-1}^2-x_{n}^2)^{\frac{n-2}{2}}dx_{n-1}dx_{n} = \frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}
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\end{align}
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==반지름 1인 n-차원 공의 부피로 주어진 수열==
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<math>2,\pi ,\frac{4 \pi }{3},\frac{\pi ^2}{2},\frac{8 \pi ^2}{15},\frac{\pi ^3}{6},\frac{16 \pi ^3}{105},\frac{\pi ^4}{24},\frac{32 \pi ^4}{945},\frac{\pi ^5}{120}, \cdots</math>
  
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<h5>관련된 대학원 과목</h5>
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==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
  
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* [[다변수미적분학]]
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* [[직교다항식과 special functions|Special functions]]
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** [[감마함수]]
  
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
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<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMmI5MDg0MWYtODU0MS00ZGVlLTk0MDQtN2Q5NThkMDc1ZTY4/edit
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* http://mathematica.stackexchange.com/questions/6633/check-homework-integration-in-mathematica
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* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
  
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<h5>위키링크</h5>
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==사전형태의 자료==
  
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Ball_%28mathematics%29 http://en.wikipedia.org/wiki/Ball_(mathematics)]
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Gouin, Henri. “Archimedes’ Famous-Theorem.” arXiv:1510.06959 [math], October 22, 2015. doi:10.13140/RG.2.1.3906.3763.
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
 
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2321716 Gamma Function Derivation of n-Sphere Volumes]<br>
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==관련논문==
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** Greg Huber
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* Kempka, Henning, and Jan Vybíral. ‘Volumes of Unit Balls of Mixed Sequence Spaces’. arXiv:1505.05867 [math], 21 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.05867.
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 89, No. 5 (May, 1982), pp. 301-302
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* Greg Huber [http://www.jstor.org/stable/2321716 Gamma Function Derivation of n-Sphere Volumes]<cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 89, No. 5 (May, 1982), pp. 301-302
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* H. P. Evans [http://www.jstor.org/stable/2304501 Volume of an n-Dimensional Sphere]<cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 54, No. 10, Part 1 (Dec., 1947), pp. 592-594
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[[분류:미적분학]]
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[[분류:구면기하학]]
  
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* [http://www.jstor.org/stable/2304501 Volume of an n-Dimensional Sphere]<br>
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==메타데이터==
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** H. P. Evans
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===위키데이터===
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 54, No. 10, Part 1 (Dec., 1947), pp. 592-594
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q12507 Q12507]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LEMMA': 'sphere'}]
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* [{'LEMMA': '2-sphere'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:50 기준 최신판

개요

  • 반지름 r인 n차원 공(n-ball)이란, n차원 유클리드 공간에서 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
    • \(x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ r^2\)
    • 1차원 공= [-r,r]
    • 2차원 공 = 반지름 r인 원판
  • 1차원 공의 부피는 \(2r\)
  • 2차원 공의 부피는 \(\pi r^2\).
  • 3차원 공의 부피는 \(\frac{4}{3}\pi r^3\).
  • ...
  • n차원 공의 부피는 얼마가 될까?
    • n이 짝수일 때는, \(\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}\)
    • n이 홀수일 때는, \(\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}\)
    • 일반적으로는 다음 식으로 표현할 수 있다\[\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n\]



공식의 유도

정리

반지름 1인 n-차원 공의 부피를 \(\omega_{n}\) 라 두자. 다음 점화식이 성립한다 \[ \omega_{n}=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}\]\[ \omega_{n}=\frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}\]

증명

\[ \begin{align} \omega_{n} & =\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} \\ & = \int_{-1}^{1}\left(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2\leq\ 1-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-1}\right)dx_{n} \\ & = \int_{-1}^{1} \omega_{n-1} \left(1-x_{n}^2\right)^{\frac{n-1}{2}}dx_{n} = \frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)} \omega_{n-1} \end{align} \]

\[ \begin{align} \omega_{n} & =\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} \\ & = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1}\left(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-2}^2\leq\ 1-x_{n-1}^2-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-2}\right)dx_{n-1} dx_{n} \\ & = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1} \omega_{n-2} (1-x_{n-1}^2-x_{n}^2)^{\frac{n-2}{2}}dx_{n-1}dx_{n} = \frac{2\pi}{n}\omega_{n-2} \end{align} \] ■



반지름 1인 n-차원 공의 부피로 주어진 수열

\(2,\pi ,\frac{4 \pi }{3},\frac{\pi ^2}{2},\frac{8 \pi ^2}{15},\frac{\pi ^3}{6},\frac{16 \pi ^3}{105},\frac{\pi ^4}{24},\frac{32 \pi ^4}{945},\frac{\pi ^5}{120}, \cdots\)



관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들



매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전형태의 자료



리뷰, 에세이, 강의노트

  • Gouin, Henri. “Archimedes’ Famous-Theorem.” arXiv:1510.06959 [math], October 22, 2015. doi:10.13140/RG.2.1.3906.3763.


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'sphere'}]
  • [{'LEMMA': '2-sphere'}]
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