"N차원 공의 부피"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 03:50 기준 최신판

개요

반지름 r인 n차원 공(n-ball)이란, n차원 유클리드 공간에서 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
- \(x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ r^2\)
- 1차원 공= [-r,r]
- 2차원 공 = 반지름 r인 원판
1차원 공의 부피는 \(2r\)
2차원 공의 부피는 \(\pi r^2\).
3차원 공의 부피는 \(\frac{4}{3}\pi r^3\).
...
n차원 공의 부피는 얼마가 될까?
- n이 짝수일 때는, \(\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}\)
- n이 홀수일 때는, \(\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}\)
- 일반적으로는 다음 식으로 표현할 수 있다\[\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n\]

공식의 유도

정리

반지름 1인 n-차원 공의 부피를 \(\omega_{n}\) 라 두자. 다음 점화식이 성립한다 \[ \omega_{n}=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}\]\[ \omega_{n}=\frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}\]

증명

\[ \begin{align} \omega_{n} & =\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} \\ & = \int_{-1}^{1}\left(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2\leq\ 1-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-1}\right)dx_{n} \\ & = \int_{-1}^{1} \omega_{n-1} \left(1-x_{n}^2\right)^{\frac{n-1}{2}}dx_{n} = \frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)} \omega_{n-1} \end{align} \]

\[ \begin{align} \omega_{n} & =\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} \\ & = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1}\left(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-2}^2\leq\ 1-x_{n-1}^2-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-2}\right)dx_{n-1} dx_{n} \\ & = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1} \omega_{n-2} (1-x_{n-1}^2-x_{n}^2)^{\frac{n-2}{2}}dx_{n-1}dx_{n} = \frac{2\pi}{n}\omega_{n-2} \end{align} \] ■

반지름 1인 n-차원 공의 부피로 주어진 수열

\(2,\pi ,\frac{4 \pi }{3},\frac{\pi ^2}{2},\frac{8 \pi ^2}{15},\frac{\pi ^3}{6},\frac{16 \pi ^3}{105},\frac{\pi ^4}{24},\frac{32 \pi ^4}{945},\frac{\pi ^5}{120}, \cdots\)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Gouin, Henri. “Archimedes’ Famous-Theorem.” arXiv:1510.06959 [math], October 22, 2015. doi:10.13140/RG.2.1.3906.3763.

메타데이터

위키데이터

ID : Q12507

Spacy 패턴 목록

[{'LEMMA': 'sphere'}]
[{'LEMMA': '2-sphere'}]

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-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
+==개요==
-* [[n차원 공의 부피]]
+*  반지름 r인 n차원 공(n-ball)이란, n차원 유클리드 공간에서 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
-==개요</h5>
-*  반지름 r인 n차원 공(n-ball)이란, n차원 유클리드 공간에서 다음 부등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..<br>
 ** <math>x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ r^2</math>
 ** 1차원 공= [-r,r]
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 * 1차원 공의 부피는 <math>2r</math>
 * 2차원 공의 부피는 <math>\pi r^2</math>.
-* 3차원 공의 부피는 <math>\frac{4}{3}\pi r^3</math>.
+* 3차원 공의 부피는 <math>\frac{4}{3}\pi r^3</math>.
 * ...
-*  n차원 공의 부피는 얼마가 될까? <br>
+*  n차원 공의 부피는 얼마가 될까?
-** n이 짝수일 때는, <math>\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}</math>
+** n이 짝수일 때는, <math>\frac{(2\pi)^{n/2}\,r^n}{2 \cdot 4 \cdots n}</math>
-** n이 홀수일 때는, <math>\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}</math>
+** n이 홀수일 때는, <math>\frac{2(2\pi)^{(n-1)/2}\,r^n}{1 \cdot 3 \cdots n}</math>
-**  일반적으로는 다음 식으로 표현할 수 있다<br><math>\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n</math><br>
+**  일반적으로는 다음 식으로 표현할 수 있다:<math>\large\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n</math>
-==공식의 유도</h5>
+==공식의 유도==
+;정리
+반지름 1인 n-차원 공의 부피를 <math>\omega_{n}</math> 라 두자. 다음 점화식이 성립한다
+:<math> \omega_{n}=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}</math>:<math> \omega_{n}=\frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}</math>
-* 반지름 1인 n-차원 공의 부피를 <math>\omega_{n}</math> 라 두자
+;증명
-*  다음 점화식이 성립한다<br><math> \omega_{n}=\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}</math><br><math> \omega_{n}=\frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}</math><br>
+:<math>
+\begin{align}
+\omega_{n} & =\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} \\
+& = \int_{-1}^{1}\left(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2\leq\ 1-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-1}\right)dx_{n} \\
+& = \int_{-1}^{1} \omega_{n-1} \left(1-x_{n}^2\right)^{\frac{n-1}{2}}dx_{n} = \frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma (\frac{n}{2}+1)} \omega_{n-1}
+\end{align}
+</math>
-(증명)
+:<math>
+\begin{align}
+\omega_{n} & =\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} \\
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+\end{align}
+</math>
+■
-<math>\omega_{n}=\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} = \int_{-1}^{1}(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2\leq\ 1-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-1})dx_{n}</math>
-<math>=\int_{-1}^{1} \omega_{n-1} (1-x_{n}^2)^{\frac{n-1}{2}}dx_{n} =\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}</math>
+==반지름 1인 n-차원 공의 부피로 주어진 수열==
-<math>\omega_{n}=\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2 \leq 1} dx_{1}\cdots dx_{n} = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1}(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-2}^2\leq\ 1-x_{n-1}^2-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-2})dx_{n-1} dx_{n}</math>
-<math>=\int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1} \omega_{n-2} (1-x_{n-1}^2-x_{n}^2)^{\frac{n-2}{2}}dx_{n-1}dx_{n} = \frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}</math> ■
-==반지름 1인 n-차원 공의 부피로 주어진 수열</h5>
 <math>2,\pi ,\frac{4 \pi }{3},\frac{\pi ^2}{2},\frac{8 \pi ^2}{15},\frac{\pi ^3}{6},\frac{16 \pi ^3}{105},\frac{\pi ^4}{24},\frac{32 \pi ^4}{945},\frac{\pi ^5}{120}, \cdots</math>
-==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
+==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
 * [[다변수미적분학]]
-* [[직교다항식과 special functions|Special functions]]<br>
+* [[직교다항식과 special functions|Special functions]]
 ** [[감마함수]]
-==매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxMmI5MDg0MWYtODU0MS00ZGVlLTk0MDQtN2Q5NThkMDc1ZTY4/edit
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 * [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
-==사전형태의 자료</h5>
+==사전형태의 자료==
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere
 * [http://en.wikipedia.org/wiki/Ball_%28mathematics%29 http://en.wikipedia.org/wiki/Ball_(mathematics)]
+==리뷰, 에세이, 강의노트==
+* Gouin, Henri. “Archimedes’ Famous-Theorem.” arXiv:1510.06959 [math], October 22, 2015. doi:10.13140/RG.2.1.3906.3763.
-==관련논문</h5>
+==관련논문==
+* Kempka, Henning, and Jan Vybíral. ‘Volumes of Unit Balls of Mixed Sequence Spaces’. arXiv:1505.05867 [math], 21 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.05867.
 * Greg Huber [http://www.jstor.org/stable/2321716 Gamma Function Derivation of n-Sphere Volumes]<cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 89, No. 5 (May, 1982), pp. 301-302
 * H. P. Evans [http://www.jstor.org/stable/2304501 Volume of an n-Dimensional Sphere]<cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 54, No. 10, Part 1 (Dec., 1947), pp. 592-594
+[[분류:미적분학]]
+[[분류:구면기하학]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q12507 Q12507]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LEMMA': 'sphere'}]
+* [{'LEMMA': '2-sphere'}]