"Q-감마함수"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 03:51 기준 최신판

개요

감마함수의 q-analogue

정의

q-감마함수를 다음과 같이 정의

\[\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}\]

자연수 n에 대하여, \(z=n+1\) 일 때,

\[\Gamma_q(n+1)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{n+1};q)_{\infty}}(1-q)^{-n}= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=[n]_q!\]

정의를 이렇게 하는 이유

감마함수가 팩토리얼의 확장이므로 q-팩토리얼의 정의를 이용하자\[[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}\]
q-Pochhammer 기호 를 사용하여 더 일반적인 경우의 n 에 대하여 쓸 수 있다\[[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}= \frac{(q;q)_{\infty}}{(1-q)^n(q^{n+1};q)_{\infty}}\]캐츠(Kac) 기호 를 써서 표현하면,\[[n]_q!=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q)^n(1-q^{n+1})_q^{\infty}}\]
위의 식은 \(n\)이 반드시 자연수가 아니어도 성립하므로, q-감마함수를 다음과 같이 정의할 수 있다

\[\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}\] \[\Gamma_q(z)= \frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q^{z})_q^{\infty}}(1-q)^{1-z}\] \[\Gamma_q(z) = (1-q)^{1-z}\prod_{n=0}^\infty \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{z+n}}. \]

잭슨 적분과 q-감마함수

http://www.stephenoney.com/papers/JacksonIntegral.pdf

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[{'LOWER': 'elliptic'}, {'LOWER': 'gamma'}, {'LEMMA': 'function'}]

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-==이 항목의 스프링노트 원문주소==
-* [[q-감마함수]]<br>
 ==개요==
-* [[#]]의 q-analogue<br>
+* [[감마함수]]의 q-analogue
 ==정의==
+* q-감마함수를 다음과 같이 정의
+:<math>\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}</math>
+* 자연수 n에 대하여, <math>z=n+1</math> 일 때,
+:<math>\Gamma_q(n+1)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{n+1};q)_{\infty}}(1-q)^{-n}= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=[n]_q!</math>
-<math>\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}</math>
-자연수 n에 대하여, <math>z=n+1</math> 일 때,
-<math>\Gamma_q(n+1)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{n+1};q)_{\infty}}(1-q)^{-n}= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=[n]_q!</math>
 ==정의를 이렇게 하는 이유==
-*  감마함수가 팩토리얼의 확장이므로 [[q-팩토리얼]]의 정의를 이용하자<br><math>[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}</math><br>
+*  감마함수가 팩토리얼의 확장이므로 [[q-팩토리얼]]의 정의를 이용하자:<math>[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}</math>
-* [[q-Pochhammer 기호]] 를 사용하여 더 일반적인 경우의 n 에 대하여 쓸 수 있다<br><math>[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}= \frac{(q;q)_{\infty}}{(1-q)^n(q^{n+1};q)_{\infty}}</math><br>[[Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호|캐츠(Kac) 기호]] 를 써서 표현하면,<br><math>[n]_q!=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q)^n(1-q^{n+1})_q^{\infty}}</math><br>
+* [[q-Pochhammer 기호]] 를 사용하여 더 일반적인 경우의 n 에 대하여 쓸 수 있다:<math>[n]_q!= \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}= \frac{(q;q)_{\infty}}{(1-q)^n(q^{n+1};q)_{\infty}}</math>[[Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호|캐츠(Kac) 기호]] 를 써서 표현하면,:<math>[n]_q!=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)^n}=\frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q)^n(1-q^{n+1})_q^{\infty}}</math>
-*  위의 식은 <math>n</math>이 반드시 자연수가 아니어도 성립하므로, q-감마함수를 다음과 같이 정의할 수 있다<br><math>\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}</math><br><math>\Gamma_q(z)= \frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q^{z})_q^{\infty}}(1-q)^{1-z}</math><br><math>\Gamma_q(z) = (1-q)^{1-z}\prod_{n=0}^\infty  \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{z+n}}. </math><br>
+*  위의 식은 <math>n</math>이 반드시 자연수가 아니어도 성립하므로, q-감마함수를 다음과 같이 정의할 수 있다
+:<math>\Gamma_q(z)= \frac{(q;q)_{\infty}}{(q^{z};q)_{\infty}}(1-q)^{1-z}</math>
+:<math>\Gamma_q(z)= \frac{(1-q)_q^{\infty}}{(1-q^{z})_q^{\infty}}(1-q)^{1-z}</math>
+:<math>\Gamma_q(z) = (1-q)^{1-z}\prod_{n=0}^\infty  \frac{1-q^{n+1}}{1-q^{z+n}}. </math>
-==재미있는 사실==
-* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
+==잭슨 적분과 q-감마함수==
+* http://www.stephenoney.com/papers/JacksonIntegral.pdf
 ==역사==
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]
 ==메모==
 ==관련된 항목들==
-* [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]<br>
+* [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]
-*   <br>
-==수학용어번역==
-* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
+==사전 형태의 자료==
-==사전 형태의 자료==
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_gamma_function
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Q-gamma_function
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
-** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 ==관련논문==
-*  Moak, Daniel S. 1984. “The $q$-analogue of Stirling’s formula”. <em>The Rocky Mountain Journal of Mathematics</em> 14 (2): 403–413. doi:[http://dx.doi.org/10.1216/RMJ-1984-14-2-403 10.1216/RMJ-1984-14-2-403].<br>
+*  Moak, Daniel S. 1984. “The <math>q</math>-analogue of Stirling’s formula”. <em>The Rocky Mountain Journal of Mathematics</em> 14 (2): 403–413. doi:[http://dx.doi.org/10.1216/RMJ-1984-14-2-403 10.1216/RMJ-1984-14-2-403].
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
+[[분류:q-급수]]
-* http://dx.doi.org/10.1216/RMJ-1984-14-2-403
+[[분류:특수함수]]
-==블로그==
-*  구글 블로그 검색<br>
+==메타데이터==
-** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
+===위키데이터===
-* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 ]
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q615862 Q615862]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'elliptic'}, {'LOWER': 'gamma'}, {'LEMMA': 'function'}]