"가우스-보네 정리"의 두 판 사이의 차이
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:<math>\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds</math> | :<math>\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds</math> | ||
| − | * 둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 | + | * 둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 <math>T</math>의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음 |
:<math>\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v</math> | :<math>\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v</math> | ||
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==대역적 가우스-보네 정리== | ==대역적 가우스-보네 정리== | ||
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| − | 유향 컴팩트 곡면 | + | 유향 컴팩트 곡면 <math>M</math>에 대하여, 다음이 성립한다 |
:<math>\int_M K dA= 2\pi\chi(M)</math> | :<math>\int_M K dA= 2\pi\chi(M)</math> | ||
| − | 여기서 | + | 여기서 <math>\chi(M)</math>는 <math>M</math>의 오일러 특성수 |
* 대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능 | * 대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능 | ||
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| − | 먼저 곡면의 측지다각형으로의 분해를, | + | 먼저 곡면의 측지다각형으로의 분해를, <math>M=T_1\cup \cdots \cup T_n</math>으로 두자. |
| − | 각 다각형 | + | 각 다각형 <math>T_i</math>에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용하여 다음을 얻는다 |
:<math>\int_{T_i} K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v</math> | :<math>\int_{T_i} K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v</math> | ||
각 다각형에 대한 결과를 모두 더하여 다음을 얻는다. | 각 다각형에 대한 결과를 모두 더하여 다음을 얻는다. | ||
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\int_M K dA &= \sum_i \int_{T_i} K dA \\ | \int_M K dA &= \sum_i \int_{T_i} K dA \\ | ||
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(각각의 모서리는 두 번씩 세어짐) ■ | (각각의 모서리는 두 번씩 세어짐) ■ | ||
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* 천(Chern)에 의한 일반화 | * 천(Chern)에 의한 일반화 | ||
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:<math>\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ </math> | :<math>\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ </math> | ||
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem%20%20 http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem] | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem%20%20 http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem] | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Gauss-Bonnet_theorem | * http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Gauss-Bonnet_theorem | ||
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| + | * [{'LOWER': 'gauss'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'bonnet'}, {'LEMMA': 'theorem'}] | ||
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2021년 2월 17일 (수) 03:56 기준 최신판
개요
- 곡면의 기하학적 성질과 위상적인 성질을 연결해 주는 정리.
- 학부 미분기하학의 가장 중요한 정리중 하나임.
국소적 가우스-보네 정리
- \(T\) :곡면상의 영역, \(K\) : 가우스 곡률, \(\alpha_i\) : 꼭지점에서의 angle jump,\(k_g\) : 곡선의 측지곡률
\[\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds\]
- 둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 \(T\)의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음
\[\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\]
대역적 가우스-보네 정리
- 정리
유향 컴팩트 곡면 \(M\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[\int_M K dA= 2\pi\chi(M)\] 여기서 \(\chi(M)\)는 \(M\)의 오일러 특성수
- 대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능
- 증명
먼저 곡면의 측지다각형으로의 분해를, \(M=T_1\cup \cdots \cup T_n\)으로 두자. 각 다각형 \(T_i\)에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용하여 다음을 얻는다 \[\int_{T_i} K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\] 각 다각형에 대한 결과를 모두 더하여 다음을 얻는다. \[ \begin{align} \int_M K dA &= \sum_i \int_{T_i} K dA \\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} (\pi - \text{internal angle at }v)\\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F}\pi - \sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} \text{internal angle at }v\\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}(\text{number of vertices of } F) \pi + 2\pi V \\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}(\text{number of edges of } F) \pi+2\pi V \\ &=2\pi F-2\pi E +2 \pi V \\ &=2\pi\chi(M) \end{align} \]
(각각의 모서리는 두 번씩 세어짐) ■
일반화
- 천(Chern)에 의한 일반화
- 정리
\(2n\)차원 유향 컴팩트 다양체에 대하여, 다음이 성립한다 \[\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ \] 여기서 \(\Omega\)는 곡률 형식, \(\mbox{Pf}\)는 파피안(Pfaffian)
메모
- http://arxiv.org/abs/1510.05119
- The many faces of Gauss-Bonnet
- http://mathoverflow.net/questions/84521/a-question-on-generalized-gauss-bonnet-theorem
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 항목들
- 볼록다면체에 대한 데카르트 정리
- 증명의 유사성을 눈여겨 볼 것.
- 다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2
관련도서
사전 형태의 참고자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem
- http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Gauss-Bonnet_theorem
메타데이터
위키데이터
- ID : Q742833
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'gauss'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'bonnet'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
- [{'LOWER': 'gauss'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'bonnet'}, {'LEMMA': 'theorem'}]