"가우스-보네 정리"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “간단한 소개” 문자열을 “개요” 문자열로)
 
(같은 사용자의 중간 판 6개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
−
==이 항목의 스프링노트 원문주소==
 
−
 
−
* [[가우스-보네 정리]]
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
 
==개요==
 
==개요==
  
12번째 줄: 4번째 줄:
 
* 학부 미분기하학의 가장 중요한 정리중 하나임.
 
* 학부 미분기하학의 가장 중요한 정리중 하나임.
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==국소적 가우스-보네 정리==
 
==국소적 가우스-보네 정리==
  
−
* [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=T ] :곡면상의 영역, [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=K ] : 가우스 곡률, [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Calpha_i ] : 꼭지점에서의 angle jump, [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=k_g ] : 곡선의 측지곡률
+
* <math>T</math> :곡면상의 영역, <math>K</math> : 가우스 곡률, <math>\alpha_i</math> : 꼭지점에서의 angle jump,<math>k_g</math> : 곡선의 측지곡률
−
 
+
:<math>\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds</math>
−
<math>\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds</math>
+
* 둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 <math>T</math>의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음
−
 
+
:<math>\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v</math>
−
* 둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=T ] 의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음
 
−
 
 
−
<math>\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v</math>
 
  
−
 
+
  
 
==대역적 가우스-보네 정리==
 
==대역적 가우스-보네 정리==
−
 
+
;정리
−
* [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=M ] : 유향 컴팩트 곡면, [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cchi%28M%29 ] : 곡면의 오일러 특성수
+
유향 컴팩트 곡면 <math>M</math>에 대하여, 다음이 성립한다
−
 
+
:<math>\int_M K dA= 2\pi\chi(M)</math>
−
<math>\int_M K dA= 2\pi\chi(M)</math>
+
여기서 <math>\chi(M)</math>는 <math>M</math>의 오일러 특성수
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
  
 
* 대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능
 
* 대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능
  
−
 
+
  
−
(증명)
+
;증명
  
−
먼저 곡면을 측지다각형으로 분해하여, 각 다각형 [http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=T ] 에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용
+
먼저 곡면의 측지다각형으로의 분해를, <math>M=T_1\cup \cdots \cup T_n</math>으로 두자.
 +
각 다각형 <math>T_i</math>에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용하여 다음을 얻는다
 +
:<math>\int_{T_i} K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v</math>
 +
각 다각형에 대한 결과를 모두 더하여 다음을 얻는다.
 +
:<math>
 +
\begin{align}
 +
\int_M K dA &= \sum_i \int_{T_i} K dA \\
 +
&=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} (\pi - \text{internal angle at }v)\\
 +
&=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F}\pi - \sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F}  \text{internal angle at }v\\
 +
&=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}(\text{number of vertices of } F) \pi + 2\pi V \\
 +
&=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}(\text{number of edges of } F) \pi+2\pi V \\
 +
&=2\pi F-2\pi E +2 \pi V \\
 +
&=2\pi\chi(M)
 +
\end{align}
 +
</math>
  
−
<math>\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v</math>
+
(각각의 모서리는 두 번씩 세어짐) ■
  
−
각 다각형에 대한 결과를 모두 더하면,
 
  
−
<math>\int_M K dA = 2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} (\pi - \text{internal angle at }v)</math>
+
==일반화==
 +
* 천(Chern)에 의한 일반화
 +
;정리
 +
<math>2n</math>차원 유향 컴팩트 다양체에 대하여, 다음이 성립한다
 +
:<math>\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ </math>
 +
여기서 <math>\Omega</math>는 곡률 형식, <math>\mbox{Pf}</math>는 [[파피안(Pfaffian)]]
  
−
<math>=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F}\pi - \sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F}  \text{internal angle at }v</math>
 
  
−
 
+
==메모==
−
 
+
* http://arxiv.org/abs/1510.05119
−
[http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3D2%5Cpi%20F-%5Csum_%7BF%5Ctext%7B%3Afaces%7D%7D%28%5Ctext%7Bnumber%20of%20vertices%20of%20%7D%20F%29%20%5Cpi%20%2B2%20%5Cpi%20V ]
+
* [http://www.nd.edu/%7Elnicolae/GradStudSemFall2003.pdf The many faces of Gauss-Bonnet]
−
 
+
* http://mathoverflow.net/questions/84521/a-question-on-generalized-gauss-bonnet-theorem
−
[http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3D2%5Cpi%20F-%5Csum_%7BF%5Ctext%7B%3Afaces%7D%7D%28%5Ctext%7Bnumber%20of%20edges%20of%20%7D%20F%29%20%5Cpi%20%2B2%20%5Cpi%20V ]
 
−
 
 
−
[http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%3D2%5Cpi%20F-2%5Cpi%20E%20%2B2%20%5Cpi%20V ]  (각각의 모서리는 두 번씩 세어짐)
 
−
 
 
−
<math>2\pi\chi(M)</math>
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
  
 
==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
 
==관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들==
72번째 줄: 65번째 줄:
 
* [[미분기하학]]
 
* [[미분기하학]]
  
−
 
+
  
−
==관련된 대학원 과목==
 
  
−
 
+
  
−
 
+
==관련된 항목들==
  
−
==관련된 다른 주제들==
+
* [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]]
−
 
 
−
* [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]]<br>
 
 
** 증명의 유사성을 눈여겨 볼 것.
 
** 증명의 유사성을 눈여겨 볼 것.
 
* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]]
 
* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]]
  
−
 
+
  
−
==표준적인 도서 및 추천도서==
+
==관련도서==
  
 
* http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
* http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
  
−
 
+
  
−
==위키링크==
+
==사전 형태의 참고자료==
  
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem%20%20 http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem%20%20 http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss-Bonnet_theorem]
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Gauss-Bonnet_theorem
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_Gauss-Bonnet_theorem
−
*  
 
  
−
==참고할만한 자료==
+
==메타데이터==
−
 
+
===위키데이터===
−
* [http://www.nd.edu/%7Elnicolae/GradStudSemFall2003.pdf The many faces of Gauss-Bonnet]
+
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q742833 Q742833]
−
* http://mathoverflow.net/questions/84521/a-question-on-generalized-gauss-bonnet-theorem
+
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'gauss'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'bonnet'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
 +
* [{'LOWER': 'gauss'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'bonnet'}, {'LEMMA': 'theorem'}]

2021년 2월 17일 (수) 03:56 기준 최신판

개요

  • 곡면의 기하학적 성질과 위상적인 성질을 연결해 주는 정리.
  • 학부 미분기하학의 가장 중요한 정리중 하나임.



국소적 가우스-보네 정리

  • \(T\) :곡면상의 영역, \(K\) : 가우스 곡률, \(\alpha_i\) : 꼭지점에서의 angle jump,\(k_g\) : 곡선의 측지곡률

\[\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds\]

  • 둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 \(T\)의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음

\[\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\]


대역적 가우스-보네 정리

정리

유향 컴팩트 곡면 \(M\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[\int_M K dA= 2\pi\chi(M)\] 여기서 \(\chi(M)\)는 \(M\)의 오일러 특성수

  • 대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능


증명

먼저 곡면의 측지다각형으로의 분해를, \(M=T_1\cup \cdots \cup T_n\)으로 두자. 각 다각형 \(T_i\)에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용하여 다음을 얻는다 \[\int_{T_i} K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\] 각 다각형에 대한 결과를 모두 더하여 다음을 얻는다. \[ \begin{align} \int_M K dA &= \sum_i \int_{T_i} K dA \\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} (\pi - \text{internal angle at }v)\\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F}\pi - \sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} \text{internal angle at }v\\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}(\text{number of vertices of } F) \pi + 2\pi V \\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}(\text{number of edges of } F) \pi+2\pi V \\ &=2\pi F-2\pi E +2 \pi V \\ &=2\pi\chi(M) \end{align} \]

(각각의 모서리는 두 번씩 세어짐) ■


일반화

  • 천(Chern)에 의한 일반화
정리

\(2n\)차원 유향 컴팩트 다양체에 대하여, 다음이 성립한다 \[\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ \] 여기서 \(\Omega\)는 곡률 형식, \(\mbox{Pf}\)는 파피안(Pfaffian)


메모

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들




관련된 항목들


관련도서


사전 형태의 참고자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'gauss'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'bonnet'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
  • [{'LOWER': 'gauss'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'bonnet'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=가우스-보네_정리&oldid=52172"