"등시강하곡선 문제 (Tautochrone problem)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
잔글 (찾아 바꾸기 – “* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]” 문자열을 “” 문자열로)
 
(같은 사용자의 중간 판 18개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
−
==이 항목의 스프링노트 원문주소==
 
−
 
−
* [[등시강하곡선 문제 (Tautochrone problem)]]
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
 
==개요==
 
==개요==
  
 
* 중력을 받고 있는 물체가 출발점에 관계없이 주어진 목적지에 똑같은 시간에 도달하기 위해서 따라야 하는 곡선
 
* 중력을 받고 있는 물체가 출발점에 관계없이 주어진 목적지에 똑같은 시간에 도달하기 위해서 따라야 하는 곡선
−
* 사이클로이드에 의하여 만족됨
+
* [[사이클로이드]]에 의하여 만족됨
 
* 1659년 호이겐스에 의해 해결
 
* 1659년 호이겐스에 의해 해결
 
* 진자 시계를 만드는데 활용되었다 http://hom.wikidot.com/the-cycloid
 
* 진자 시계를 만드는데 활용되었다 http://hom.wikidot.com/the-cycloid
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==등시성의 증명==
 
==등시성의 증명==
  
−
[/pages/4402517/attachments/2339131 Tautochrone_curve(1).gif]
+
[[파일:4402517-Tautochrone_curve(1).gif]]
  
 
(정리) 사이클로이드를 따라 움직이는 추의 주기는 시작점의 위치에 관계없이 다음으로 주어진다.
 
(정리) 사이클로이드를 따라 움직이는 추의 주기는 시작점의 위치에 관계없이 다음으로 주어진다.
−
 
+
:<math>T =2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}</math>
−
<math>T =2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}</math>
 
  
 
(이 때, 사이클로이드의 방정식은 <math>x = r(\theta - \sin \theta)</math>, <math>y = -r(1 - \cos \theta)</math>로 주어졌다고 하자.)
 
(이 때, 사이클로이드의 방정식은 <math>x = r(\theta - \sin \theta)</math>, <math>y = -r(1 - \cos \theta)</math>로 주어졌다고 하자.)
32번째 줄: 23번째 줄:
 
출발점의 y좌표를 <math>y=y_0</math>라 두고, 그 때 곡선의 파라메터를 <math>\theta=\theta_0</math>라 하자.
 
출발점의 y좌표를 <math>y=y_0</math>라 두고, 그 때 곡선의 파라메터를 <math>\theta=\theta_0</math>라 하자.
  
−
움직이는 추의 속도는 <math>v=\sqrt{2g(y_0-y)}= \sqrt{2rg(\cos\theta_0-\cos\theta)}</math> 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다.
+
움직이는 추의 속도는 <math>v=\sqrt{2g(y_0-y)}= \sqrt{2rg(\cos\theta_0-\cos\theta)}</math> 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다
 +
:<math>T =\int \frac{ds}{v}=2\int_{\theta_0}^{\pi} \frac{\sqrt{2r^2(1-\cos\theta)}}{\sqrt{2rg(\cos\theta_0-\cos\theta)}}\,d\theta=2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{\theta_0}^{\pi} \frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{\cos\theta_0-\cos\theta}}\,d\theta \label{vel}</math>
  
−
<math>T =\int \frac{ds}{v}=2\int_{\theta_0}^{\pi} \frac{\sqrt{2r^2(1-\cos\theta)}}{\sqrt{2rg(\cos\theta_0-\cos\theta)}}\,d\theta=2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{\theta_0}^{\pi} \frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{\cos\theta_0-\cos\theta}}\,d\theta</math>
+
반각공식을 이용하여, \ref{vel}의 우변을 다음과 같이 쓸 수 있다
  
−
반각공식을 이용하여, 우변을
+
:<math>2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{\theta_0}^{\pi}\frac{\sin(\frac{1}{2}\theta)}{\sqrt{\cos^2(\frac{1}{2}\theta_0)-\cos^2(\frac{1}{2}\theta)}}d\theta </math>
−
 
+
여기서
−
<math>2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{\theta_0}^{\pi}\frac{\sin(\frac{1}{2}\theta)}{\sqrt{\cos^2(\frac{1}{2}\theta_0)-\cos^2(\frac{1}{2}\theta)}}d\theta </math> 로 쓸 수 있다.
+
:<math>u=\frac{\cos \frac{1}{2}\theta}{\cos \frac{1}{2}\theta_0}</math>로 치환하면,  
−
 
+
:<math>du=\frac{-\sin \frac{1}{2}\theta}{2\cos \frac{1}{2}\theta_0}\,d\theta</math> 를 얻는다.
−
<math>u=\frac{\cos \frac{1}{2}\theta}{\cos \frac{1}{2}\theta_0}</math>로 치환하면, <math>du=\frac{-\sin \frac{1}{2}\theta}{2\cos \frac{1}{2}\theta_0}\,d\theta</math> 를 얻는다.
 
  
 
따라서
 
따라서
 +
:<math>T =4\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,du=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}</math>■
  
−
<math>T =4\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,du=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}</math>■
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
  
−
 
+
  
 
==관련동영상==
 
==관련동영상==
−
 
−
 
−
 
 
* 1분 15초 부터
 
* 1분 15초 부터
 
* http://www.youtube.com/watch?v=FAYWccuLVvY#t=1m15s
 
* http://www.youtube.com/watch?v=FAYWccuLVvY#t=1m15s
  
−
 
+
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
==재미있는 사실==
 
  
 +
==메모==
 
* http://www.baropage.com/file_board/view.php?id=life02&page=1&sn1=&divpage=1&sn=off&ss=on&sc=on&select_arrange=hit&desc=desc&no=95
 
* http://www.baropage.com/file_board/view.php?id=life02&page=1&sn1=&divpage=1&sn=off&ss=on&sc=on&select_arrange=hit&desc=desc&no=95
−
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
−
* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
  
−
==역사==
 
  
−
 
+
−
 
 
−
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
−
*  
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
  
 
==메모==
 
==메모==
90번째 줄: 56번째 줄:
 
* [http://lilith.gotdns.org/%7Evictor/writings/0033huygens.pdf Christiaan Huygens and the Scientific Revolution]
 
* [http://lilith.gotdns.org/%7Evictor/writings/0033huygens.pdf Christiaan Huygens and the Scientific Revolution]
  
−
 
+
  
−
 
+
  
 
==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
−
 
+
* [[사이클로이드]]
 
* [[단진자의 주기와 타원적분]]
 
* [[단진자의 주기와 타원적분]]
  
−
 
+
 +
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUGZ6TlpTemFuazg/edit
  
−
 
+
  
 
==수학용어번역==
 
==수학용어번역==
  
−
*  Tautochrone problem<br>
+
*  Tautochrone problem
 
** 등시강하곡선 문제
 
** 등시강하곡선 문제
  
−
* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
−
* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
  
−
 
+
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
==사전 형태의 자료==
 
−
 
 
−
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
  
 +
==사전 형태의 자료==
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_problem
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_problem
 
* http://mathworld.wolfram.com/TautochroneProblem.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/TautochroneProblem.html
 +
  
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
+
−
* http://www.proofwiki.org/wiki/
 
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
−
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
  
 
==관련논문==
 
==관련논문==
  
−
* [http://www.jstor.org/stable/2695647 The Cycloidal Pendulum]<br>
+
* [http://www.jstor.org/stable/2695647 The Cycloidal Pendulum]
 
** Jeff Brooks and Satha Push, The American Mathematical Monthly Vol. 109, No. 5 (May, 2002), pp. 463-465
 
** Jeff Brooks and Satha Push, The American Mathematical Monthly Vol. 109, No. 5 (May, 2002), pp. 463-465
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
 
−
* http://www.ams.org/mathscinet
 
−
* http://dx.doi.org/
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
−
 
−
 
 
  
−
 
 
  
−
==링크==
+
[[분류:곡선]]
  
−
*  구글 블로그 검색<br>
+
==메타데이터==
−
** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
+
===위키데이터===
−
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 ]
+
* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q3284444 Q3284444]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'tautochrone'}, {'LEMMA': 'curve'}]
 +
* [{'LOWER': 'isochrone'}, {'LEMMA': 'curve'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:03 기준 최신판

개요

  • 중력을 받고 있는 물체가 출발점에 관계없이 주어진 목적지에 똑같은 시간에 도달하기 위해서 따라야 하는 곡선
  • 사이클로이드에 의하여 만족됨
  • 1659년 호이겐스에 의해 해결
  • 진자 시계를 만드는데 활용되었다 http://hom.wikidot.com/the-cycloid



등시성의 증명

4402517-Tautochrone curve(1).gif

(정리) 사이클로이드를 따라 움직이는 추의 주기는 시작점의 위치에 관계없이 다음으로 주어진다. \[T =2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}\]

(이 때, 사이클로이드의 방정식은 \(x = r(\theta - \sin \theta)\), \(y = -r(1 - \cos \theta)\)로 주어졌다고 하자.)

(증명)

출발점의 y좌표를 \(y=y_0\)라 두고, 그 때 곡선의 파라메터를 \(\theta=\theta_0\)라 하자.

움직이는 추의 속도는 \(v=\sqrt{2g(y_0-y)}= \sqrt{2rg(\cos\theta_0-\cos\theta)}\) 로 주어진다. 따라서 주기를 다음과 같이 쓸 수 있다 \[T =\int \frac{ds}{v}=2\int_{\theta_0}^{\pi} \frac{\sqrt{2r^2(1-\cos\theta)}}{\sqrt{2rg(\cos\theta_0-\cos\theta)}}\,d\theta=2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{\theta_0}^{\pi} \frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{\cos\theta_0-\cos\theta}}\,d\theta \label{vel}\]

반각공식을 이용하여, \ref{vel}의 우변을 다음과 같이 쓸 수 있다

\[2\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{\theta_0}^{\pi}\frac{\sin(\frac{1}{2}\theta)}{\sqrt{\cos^2(\frac{1}{2}\theta_0)-\cos^2(\frac{1}{2}\theta)}}d\theta \] 여기서 \[u=\frac{\cos \frac{1}{2}\theta}{\cos \frac{1}{2}\theta_0}\]로 치환하면, \[du=\frac{-\sin \frac{1}{2}\theta}{2\cos \frac{1}{2}\theta_0}\,d\theta\] 를 얻는다.

따라서 \[T =4\sqrt{\frac{r}{g}}\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,du=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}\]■



관련동영상


메모



메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • Tautochrone problem
    • 등시강하곡선 문제



사전 형태의 자료



관련논문

  • The Cycloidal Pendulum
    • Jeff Brooks and Satha Push, The American Mathematical Monthly Vol. 109, No. 5 (May, 2002), pp. 463-465

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'tautochrone'}, {'LEMMA': 'curve'}]
  • [{'LOWER': 'isochrone'}, {'LEMMA': 'curve'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=등시강하곡선_문제_(Tautochrone_problem)&oldid=52235"