"르장드르 다항식"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:41 기준 최신판

개요

르장드르 미분방정식의 해로 얻어지는 다항식 \(P_n(x), \, n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)
구간 \([-1,1]\)에서 \(\text{L}^2\) 내적에 의해 직교성을 가짐
물리학에서 많이 등장하는 다항식의 하나
자코비 다항식 \(P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)\)의 특수한 경우로 얻어지며 \(P_n(x)=P_n^{(0,0)}(x)\)이 성립

르장드르 미분방정식

미분방정식\[{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0\]
스텀-리우빌 이론 을 적용할 수 있음
같은 미분방정식을 다음과 같이 초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)형태로 쓸 수 있음\[(1-x^2)\,y'' -2xy' + n(n+1)y = 0,\,\]

로드리게즈 공식

르장드르 다항식을 얻는 직접적인 방법

\[P_n(x) =\frac{1}{2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]\]

3항 점화식

\(P_0(x)=1\), \(P_1(x)=x\)

\((n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\)

생성함수

생성함수\[\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n = 1+x t+\left(-\frac{1}{2}+\frac{3 x^2}{2}\right) t^2+\left(-\frac{3 x}{2}+\frac{5 x^3}{2}\right) t^3+\frac{1}{8} \left(3-30 x^2+35 x^4\right) t^4+\frac{1}{8} \left(15 x-70 x^3+63 x^5\right) t^5+\cdots\]

부분적분에의 응용

정리

\(n\geq 1\) 일 때, n번 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\int_{-1}^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nf^{(n)}(x)\,dx.\]

증명

\(Q(x)=(x^2-1)^n\) 라 두자.

\(0\leq k < n\) 일 때 \(Q^{(k)}(-1)=Q^{(k)}(1)=0\)이므로. 부분적분을 반복적용하면 다음을 얻는다. \[\int_{-1}^1Q^{(n)}(x)f(x)\,dx=-\int_{-1}^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_{-1}^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx\]

\(P_n(x) =\frac{Q^{(n)}(x)}{2^n n!}\) 이므로 증명되었다. ■

직교성

정리

\[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{n,m}\]

증명

\(n>m\) 이라 가정하자. \[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 x^{n}(x^2-1)^nP_{m}^{(n)}(x)\,dx\]

위에서 증명한 성질을 응용하였다.

한편 \(P_{m}(x)\)는 차수가 m인 다항식이므로, n번 미분하면 항등적으로 0이 된다. 따라서, \[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=0\]

이제 \(n=m\) 이라 가정하자.

\[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nP_{n}^{(n)}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\frac{(2n)!}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^n\,dx\]

한편,

\[\int_{-1}^1 (x^2-1)^n \,dx=(-1)^n\int_{-1}^1 (1-x^2)^n \,dx=(-1)^n 2^{2n+1}\int_0^1 t^n(1-t)^n\,dt=(-1)^n 2^{2n+1} B(n+1,n+1)=(-1)^n2^{2n+1}\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}\]

여기서 \(B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\) 는 오일러 베타적분(베타함수) 이다.

따라서 \[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}.\]■

목록

\[ \begin{array}{c|c} n & P_n(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & x \\ 2 & \frac{1}{2} \left(3 x^2-1\right) \\ 3 & \frac{1}{2} \left(5 x^3-3 x\right) \\ 4 & \frac{1}{8} \left(35 x^4-30 x^2+3\right) \\ 5 & \frac{1}{8} \left(63 x^5-70 x^3+15 x\right) \\ 6 & \frac{1}{16} \left(231 x^6-315 x^4+105 x^2-5\right) \\ 7 & \frac{1}{16} \left(429 x^7-693 x^5+315 x^3-35 x\right) \\ 8 & \frac{1}{128} \left(6435 x^8-12012 x^6+6930 x^4-1260 x^2+35\right) \\ 9 & \frac{1}{128} \left(12155 x^9-25740 x^7+18018 x^5-4620 x^3+315 x\right) \\ 10 & \frac{1}{256} \left(46189 x^{10}-109395 x^8+90090 x^6-30030 x^4+3465 x^2-63\right) \\ \end{array} \]

역사

수학사 연표

메모

http://sos440.tistory.com/203
associated Legendre polynomial

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxT09yS1Rtb2RCYm8/edit

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q215405

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'legendre'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 ==개요==
-* 르장드르 미분방정식의 해로 얻어짐
+* 르장드르 미분방정식의 해로 얻어지는 다항식 <math>P_n(x), \, n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>
 * 구간 <math>[-1,1]</math>에서 <math>\text{L}^2</math> 내적에 의해 직교성을 가짐
 * 물리학에서 많이 등장하는 다항식의 하나
+* [[자코비 다항식]] <math>P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)</math>의 특수한 경우로 얻어지며 <math>P_n(x)=P_n^{(0,0)}(x)</math>이 성립
 ==르장드르 미분방정식==
-*  미분방정식:<math>{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0</math><br>
+*  미분방정식:<math>{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0</math>
 * [[스텀-리우빌 이론]] 을 적용할 수 있음
-*  같은 미분방정식을 다음과 같이 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]형태로 쓸 수 있음:<math>(1-x^2)\,y'' -2xy' + n(n+1)y = 0,\,</math><br>
+*  같은 미분방정식을 다음과 같이 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]형태로 쓸 수 있음:<math>(1-x^2)\,y'' -2xy' + n(n+1)y = 0,\,</math>
 ==로드리게즈 공식==
-*  르장드르 다항식을 얻는 직접적인 방법:<math>P_n(x) =\frac{1}{2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]</math><br>
+*  르장드르 다항식을 얻는 직접적인 방법
+:<math>P_n(x) =\frac{1}{2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]</math>
 ==3항 점화식==
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 ==생성함수==
-* [[생성함수]]:<math>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n = 1+x t+\left(-\frac{1}{2}+\frac{3 x^2}{2}\right) t^2+\left(-\frac{3 x}{2}+\frac{5 x^3}{2}\right) t^3+\frac{1}{8} \left(3-30 x^2+35 x^4\right) t^4+\frac{1}{8} \left(15 x-70 x^3+63 x^5\right) t^5+\cdots</math><br>
+* [[생성함수]]:<math>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n = 1+x t+\left(-\frac{1}{2}+\frac{3 x^2}{2}\right) t^2+\left(-\frac{3 x}{2}+\frac{5 x^3}{2}\right) t^3+\frac{1}{8} \left(3-30 x^2+35 x^4\right) t^4+\frac{1}{8} \left(15 x-70 x^3+63 x^5\right) t^5+\cdots</math>
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 ==부분적분에의 응용==
+;정리
 <math>n\geq 1</math> 일 때, n번 미분가능한 함수 <math>f</math>에 대하여 다음이 성립한다.
+:<math>\int_{-1}^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nf^{(n)}(x)\,dx.</math>
-<math>\int_{-1}^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nf^{(n)}(x)\,dx</math>.
+;증명
-(증명)
 <math>Q(x)=(x^2-1)^n</math> 라 두자.
-<math>0\leq k < n</math> 일 때 <math>Q^{(k)}(-1)=Q^{(k)}(1)=0</math>이므로. 부분적분을 반복적용하면,
+<math>0\leq k < n</math> 일 때 <math>Q^{(k)}(-1)=Q^{(k)}(1)=0</math>이므로. 부분적분을 반복적용하면 다음을 얻는다.
+:<math>\int_{-1}^1Q^{(n)}(x)f(x)\,dx=-\int_{-1}^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_{-1}^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx</math>
-<math>\int_{-1}^1Q^{(n)}(x)f(x)\,dx=-\int_{-1}^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_{-1}^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx</math>
 <math>P_n(x) =\frac{Q^{(n)}(x)}{2^n n!}</math> 이므로 증명되었다.  ■
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 * [[파이 π는 무리수이다]]
 ==직교성==
+;정리
+:<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{n,m}</math>
-<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{n,m}</math>
-(증명)
+;증명
 <math>n>m</math> 이라 가정하자.
+:<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 x^{n}(x^2-1)^nP_{m}^{(n)}(x)\,dx</math>
-<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 x^{n}(x^2-1)^nP_{m}^{(n)}(x)\,dx</math>
 위에서 증명한 성질을 응용하였다.
 한편 <math>P_{m}(x)</math>는 차수가 m인 다항식이므로, n번 미분하면 항등적으로 0이 된다. 따라서,
+:<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=0</math>
-<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=0</math>
 이제 <math>n=m</math> 이라 가정하자.
-<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nP_{n}^{(n)}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\frac{(2n)!}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^n\,dx</math>
+:<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nP_{n}^{(n)}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\frac{(2n)!}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^n\,dx</math>
 한편,
-<math>\int_{-1}^1 (x^2-1)^n \,dx=(-1)^n\int_{-1}^1 (1-x^2)^n \,dx=(-1)^n 2^{2n+1}\int_0^1  t^n(1-t)^n\,dt=(-1)^n 2^{2n+1} B(n+1,n+1)=(-1)^n2^{2n+1}\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}</math>
+:<math>\int_{-1}^1 (x^2-1)^n \,dx=(-1)^n\int_{-1}^1 (1-x^2)^n \,dx=(-1)^n 2^{2n+1}\int_0^1  t^n(1-t)^n\,dt=(-1)^n 2^{2n+1} B(n+1,n+1)=(-1)^n2^{2n+1}\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}</math>
 여기서 <math>B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt</math> 는 [[오일러 베타적분(베타함수)]] 이다.
 따라서
+:<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}.</math>■
-<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}</math>.■
 ==목록==
+:<math>
-P_0(x)=1<br> P_1(x)=x<br> P_2(x)=1/2 (-1+3 x^2)<br> P_3(x)=1/2 (-3 x+5 x^3)<br> P_4(x)=1/8 (3-30 x^2+35 x^4)<br> P_5(x)=1/8 (15 x-70 x^3+63 x^5)<br> P_6(x)=1/16 (-5+105 x^2-315 x^4+231 x^6)<br> P_7(x)=1/16 (-35 x+315 x^3-693 x^5+429 x^7)<br> P_8(x)=1/128 (35-1260 x^2+6930 x^4-12012 x^6+6435 x^8)<br> P_9(x)=1/128 (315 x-4620 x^3+18018 x^5-25740 x^7+12155 x^9)<br> P_{10}(x)=1/256 (-63+3465 x^2-30030 x^4+90090 x^6-109395 x^8+46189 x^10)
+\begin{array}{c|c}
+ n & P_n(x) \\
+\hline
+& 1 \\
+& x \\
+& \frac{1}{2} \left(3 x^2-1\right) \\
+& \frac{1}{2} \left(5 x^3-3 x\right) \\
+& \frac{1}{8} \left(35 x^4-30 x^2+3\right) \\
+& \frac{1}{8} \left(63 x^5-70 x^3+15 x\right) \\
+& \frac{1}{16} \left(231 x^6-315 x^4+105 x^2-5\right) \\
+& \frac{1}{16} \left(429 x^7-693 x^5+315 x^3-35 x\right) \\
+& \frac{1}{128} \left(6435 x^8-12012 x^6+6930 x^4-1260 x^2+35\right) \\
+& \frac{1}{128} \left(12155 x^9-25740 x^7+18018 x^5-4620 x^3+315 x\right) \\
+& \frac{1}{256} \left(46189 x^{10}-109395 x^8+90090 x^6-30030 x^4+3465 x^2-63\right) \\
+\end{array}
+</math>
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 * [[수학사 연표]]
@@ 125번째 줄: / 121번째 줄: @@
 * associated Legendre polynomial
 ==관련된 항목들==
+* [[자코비 다항식]]
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxT09yS1Rtb2RCYm8/edit
-==수학용어번역==
-* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 ==사전 형태의 자료==
-* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A5%B4%EC%9E%A5%EB%93%9C%EB%A5%B4_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/르장드르_다항식]
+* http://ko.wikipedia.org/wiki/르장드르_다항식
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials
@@ 154번째 줄: / 139번째 줄: @@
 * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 ** [http://dlmf.nist.gov/14 Chapter 14 Legendre and Related Functions]
+[[분류:특수함수]]
+== 관련논문 ==
+* Yajun Zhou, Two Definite Integrals Involving Products of Four Legendre Functions, http://arxiv.org/abs/1603.03547v1
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q215405 Q215405]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'legendre'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]