"원분다항식(cyclotomic polynomial)"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:55 기준 최신판

개요

원분체 (cyclotomic field) 의 연구에서 다룰 수 있는 주요 대상
방정식과 근의 공식 연구의 중요한 실험장

정의

\(\Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)\)
- 여기서 \(\omega\)는 primitive n-th root of unity (단위근)
차수는 오일러의 totient 함수 를 사용하여 \(\varphi(n)\) 로 표현됨
\(x^n-1= \prod_{d|n}\Phi_d(x)\)

원분다항식의 상호법칙

소수 \(p\) 에 대해 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 어떻게 분해되는가의 문제

정리

\(p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 order가 \(r\)이라 하자. 즉 \(r\)이 \(p^r=1\pmod n\) 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.

그러면 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 는 차수가 \(r\)인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 \(\Phi_n(x) \pmod p\)의 분해는, \(p\pmod n\)에 의해 결정된다.

증명은 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws) 참조

따름정리

\(n | p-1\) \(\iff\) \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해된다

원분다항식 목록

\(\begin{array}{l|l|l} n & \varphi (n) & \Phi _n(x) \\ \hline 1 & 1 & 1-x \\ 2 & 1 & 1+x \\ 3 & 2 & 1+x+x^2 \\ 4 & 2 & 1+x^2 \\ 5 & 4 & 1+x+x^2+x^3+x^4 \\ 6 & 2 & 1-x+x^2 \\ 7 & 6 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\ 8 & 4 & 1+x^4 \\ 9 & 6 & 1+x^3+x^6 \\ 10 & 4 & 1-x+x^2-x^3+x^4 \\ 11 & 10 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10} \\ 12 & 4 & 1-x^2+x^4 \\ 13 & 12 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12} \\ 14 & 6 & 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6 \\ 15 & 8 & 1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8 \\ 16 & 8 & 1+x^8 \\ 17 & 16 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16} \\ 18 & 6 & 1-x^3+x^6 \\ 19 & 18 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16}+x^{17}+x^{18} \\ 20 & 8 & 1-x^2+x^4-x^6+x^8 \end{array}\)

\(n=105\)일 때, 0또는 \(\pm 1\)외의 계수가 등장한다

\[ \begin{align*} \Phi_{105}(x)&= 1 + x + x^{2} - x^{5} - x^{6} - 2 x^{7} \\ & \quad -x^{8} - x^{9} + x^{12} + x^{13} + x^{14} + x^{15} \\ & \quad +x^{16} + x^{17} - x^{20} - x^{22} - x^{24} - x^{26} \\ & \quad -x^{28} + x^{31} + x^{32} + x^{33} + x^{34} + x^{35} \\ & \quad +x^{36} - x^{39} - x^{40} - 2 x^{41} - x^{42} - x^{43} \end{align*} \]

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-==이 항목의 스프링노트 원문주소==
-* [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]]
 ==개요==
 * [[원분체 (cyclotomic field)]] 의 연구에서 다룰 수 있는 주요 대상
-* 오래전 [[방정식과 근의 공식]] 연구의 중요한 실험장
+* [[방정식과 근의 공식]] 연구의 중요한 실험장
 ==정의==
-* <math>\Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)</math><br>
+* <math>\Phi_n(X) = \prod_\omega (X-\omega)</math>
 ** 여기서 <math>\omega</math>는 primitive n-th root of unity (단위근)
 * 차수는 [[오일러의 totient 함수]] 를 사용하여 <math>\varphi(n)</math> 로 표현됨
-* <math>x^n-1= \prod_{d|n}\Phi_d(x)</math><br>
+* <math>x^n-1= \prod_{d|n}\Phi_d(x)</math>
 ==원분다항식의 상호법칙==
+* 소수 <math>p</math> 에 대해 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 가 어떻게 분해되는가의 문제
-* <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 가 어떤 소수 <math>p</math> 에 대해 어떻게 분해되는가의 문제
+;정리
-(정리)
-<math>p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>의 order가 <math>r</math>이라 하자. 즉 r이 <math>p^r=1\pmod n</math> 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.
+<math>p\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>의 order가 <math>r</math>이라 하자. 즉 <math>r</math>이 <math>p^r=1\pmod n</math> 을 만족시키는 가장 작은 자연수라 하자.
-그러면 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 는 차수가 r인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>의 분해는, <math>p\pmod n</math>에 의해 결정된다.
+그러면 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math> 는 차수가 <math>r</math>인 기약다항식들의 곱으로 표현된다. 즉 <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>의 분해는, <math>p\pmod n</math>에 의해 결정된다.
 * 증명은 [[정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)]] 참조
+;따름정리
-(따름정리)
+<math>n | p-1</math>  <math>\iff</math>  <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해된다
-<math>n | p-1</math>  <math>\iff</math>  <math>\Phi_n(x) \pmod p</math>는 일차식들로 분해된다
 ==원분다항식 목록==
-<math>\begin{array}{l|ll}   &  $\phi (n) & \phi _n(x) \\ \hline  1 & 1 & -1+x \\  2 & 1 & 1+x \\  3 & 2 & 1+x+x^2 \\  4 & 2 & 1+x^2 \\  5 & 4 & 1+x+x^2+x^3+x^4 \\  6 & 2 & 1-x+x^2 \\  7 & 6 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\  8 & 4 & 1+x^4 \\  9 & 6 & 1+x^3+x^6 \\  10 & 4 & 1-x+x^2-x^3+x^4 \\  11 & 10 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10} \\  12 & 4 & 1-x^2+x^4 \\  13 & 12 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12} \\  14 & 6 & 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6 \\  15 & 8 & 1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8 \\  16 & 8 & 1+x^8 \\  17 & 16 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16} \\  18 & 6 & 1-x^3+x^6 \\  19 & 18 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16}+x^{17}+x^{18} \\  20 & 8 & 1-x^2+x^4-x^6+x^8 \end{array}</math>
+<math>\begin{array}{l|l|l} n  &  \varphi (n) & \Phi _n(x) \\ \hline  1 & 1 & 1-x \\  2 & 1 & 1+x \\  3 & 2 & 1+x+x^2 \\  4 & 2 & 1+x^2 \\  5 & 4 & 1+x+x^2+x^3+x^4 \\  6 & 2 & 1-x+x^2 \\  7 & 6 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6 \\  8 & 4 & 1+x^4 \\  9 & 6 & 1+x^3+x^6 \\  10 & 4 & 1-x+x^2-x^3+x^4 \\  11 & 10 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10} \\  12 & 4 & 1-x^2+x^4 \\  13 & 12 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12} \\  14 & 6 & 1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6 \\  15 & 8 & 1-x+x^3-x^4+x^5-x^7+x^8 \\  16 & 8 & 1+x^8 \\  17 & 16 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16} \\  18 & 6 & 1-x^3+x^6 \\  19 & 18 & 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}+x^{12}+x^{13}+x^{14}+x^{15}+x^{16}+x^{17}+x^{18} \\  20 & 8 & 1-x^2+x^4-x^6+x^8 \end{array}</math>
+* <math>n=105</math>일 때, 0또는 <math>\pm 1</math>외의 계수가 등장한다
+:<math>
+\begin{align*}
+\Phi_{105}(x)&=
++ x + x^{2} - x^{5} - x^{6} - 2 x^{7} \\
+& \quad -x^{8} - x^{9} + x^{12} + x^{13} + x^{14} + x^{15}
+\\
+& \quad +x^{16} + x^{17} - x^{20} - x^{22} - x^{24} - x^{26}
+\\
+& \quad -x^{28} + x^{31} + x^{32} + x^{33} + x^{34} + x^{35}
+\\
+& \quad +x^{36} - x^{39} - x^{40} - 2 x^{41} - x^{42} - x^{43}
+\end{align*}
+</math>
 ==역사==
 * http://functions.wolfram.com/Polynomials/Cyclotomic/35/ShowAll.html
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]
 ==관련된 항목들==
-*  [[#|오일러의 totient 함수]]
+* [[오일러의 totient 함수]]
 * [[가우스와 정17각형의 작도]]
 * [[삼각함수의 값]]
 ==수학용어번역==
+* {{학술용어집|url=cyclotomic}}
-*  단어사전<br>
-** http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-** http://ko.wiktionary.org/wiki/
-* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=cyclotomic
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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 * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNWJiOTZkZTYtMDJhMS00MDg4LTljMzItNWFhYjg3MzMwNDRl&sort=name&layout=list&num=50
 * http://www.wolframalpha.com/input/?i=cyclotomic+polynomial
-* http://functions.wolfram.com/
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
-* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
-* [[매스매티카 파일 목록]]
 ==사전형태의 참고자료==
@@ 113번째 줄: / 90번째 줄: @@
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_polynomial
-* http://en.wikipedia.org/wiki/<br>
+==관련논문==
+* Bartlomiej Bzdega, Products of cyclotomic polynomials on unit circle, arXiv:1606.07622 [math.NT], June 24 2016, http://arxiv.org/abs/1606.07622
+* Pomerance, Carl, Lola Thompson, and Andreas Weingartner. “On Integers <math>n</math> for Which <math>X^n-1</math> Has a Divisor of Every Degree.” arXiv:1511.03357 [math], November 10, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.03357.
+* Somu, Sai Teja. “On the Distribution of Numbers Related to the Divisors of <math>x^n-1</math>.” arXiv:1511.03230 [math], November 10, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.03230.
+* Somu, Sai Teja. “On the Coefficients of Divisors of X^n-1.” arXiv:1511.03226 [math], November 10, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.03226.
+* Damianou, Pantelis A. ‘Monic Polynomials in <math>Z[x]</math> with Roots in the Unit Disc’. arXiv:1507.02419 [math], 9 July 2015. http://arxiv.org/abs/1507.02419.
+* Martínez, F. E. Brochero, C. R. Giraldo Vergara, and L. Batista de Oliveira. “Explicit Factorization of <math>x^n-1\in \mathbb F_q[x]</math>.” arXiv:1404.6281 [cs, Math], April 24, 2014. http://arxiv.org/abs/1404.6281.
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1051983 Q1051983]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'cyclotomic'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]

"원분다항식(cyclotomic polynomial)"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:55 기준 최신판

목차

개요

정의

원분다항식의 상호법칙

원분다항식 목록

역사

관련된 항목들

수학용어번역

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전형태의 참고자료

관련논문

메타데이터

위키데이터

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