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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
  
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* [[다이로그 함수의 special value 계산]]<br>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">special value의 계산</h5>
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<math>\mbox{Li}_{2}(-1)</math> 의 계산
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반전공식에 <math>x=-1</math> 을 대입하여 얻을 수 있다.
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})</math> 의 계산
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오일러의 반사공식에서 <math>x=\frac{1}{2}</math> 를 대입하여 얻을 수 있다.
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또는 
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<math>\zeta(2)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math> 와 
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<math>\frac{\pi^2}{12}=\sum_{1}^{\infty}\frac{2}{(2n)^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1+(-1)^n}{n^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}</math>
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를 이용하여 보일 수 있다.
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})</math> 과 <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})</math> 의 계산
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오일러의 반사공식에 <math>x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}</math>을 대입하면 다음을 얻는다.
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\log(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\log(\frac{3-\sqrt{5}}{2})</math>
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란덴의 항등식과 제곱공식을 활용하면 다음과 같은 항등식을 얻을 수 있다.
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<math>\mbox{Li}_2 (\frac{-x}{1-x})+\frac{1}{2}\mbox{Li}_2(x^2)-\mbox{Li}_2(-x) =-\frac{1}{2}(\log(1-x))^2</math>
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여기에 <math>x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math>을 대입하면 다음을 얻는다.
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<math>\frac{3}{2}\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})-\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math>
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이제 위에서 얻어진 두 식을 통해 원하는 값을 계산할 수 있다. 
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})</math> 의 계산
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제곱공식<math>\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))</math> 에 <math>x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}</math> 를 대입하면, 
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) =2(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}))</math> 를 얻는다.
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<math>\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})</math> 의 계산
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반전공식에 <math>x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}</math>를 대입하면, <math>\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})</math> 를 얻는다.
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
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* [[다이로그 항등식 (dilogarithm identities)]]<br>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* http://www.ams.org/mathscinet
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* http://dx.doi.org/
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5>
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*  도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
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*  도서검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
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*  구글 블로그 검색<br>
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** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
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* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
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* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
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* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]

2010년 7월 7일 (수) 21:41 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

special value의 계산

\(\mbox{Li}_{2}(-1)\) 의 계산

반전공식에 \(x=-1\) 을 대입하여 얻을 수 있다.

 

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})\) 의 계산

오일러의 반사공식에서 \(x=\frac{1}{2}\) 를 대입하여 얻을 수 있다.

또는 

\(\zeta(2)=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\) 와 

\(\frac{\pi^2}{12}=\sum_{1}^{\infty}\frac{2}{(2n)^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1+(-1)^n}{n^2}=\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}+\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\)

를 이용하여 보일 수 있다.

 

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})\) 과 \(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\) 의 계산

오일러의 반사공식에 \(x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)을 대입하면 다음을 얻는다.

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\log(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})\log(\frac{3-\sqrt{5}}{2})\)

란덴의 항등식과 제곱공식을 활용하면 다음과 같은 항등식을 얻을 수 있다.

\(\mbox{Li}_2 (\frac{-x}{1-x})+\frac{1}{2}\mbox{Li}_2(x^2)-\mbox{Li}_2(-x) =-\frac{1}{2}(\log(1-x))^2\)

여기에 \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)을 대입하면 다음을 얻는다.

\(\frac{3}{2}\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})-\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}) =-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\)

 

이제 위에서 얻어진 두 식을 통해 원하는 값을 계산할 수 있다. 

 

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})\) 의 계산

제곱공식\(\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))\) 에 \(x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) 를 대입하면, 

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2}) =2(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}))\) 를 얻는다.

 

\(\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})\) 의 계산

반전공식에 \(x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\)를 대입하면, \(\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}) =\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})\) 를 얻는다.

 

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

 

관련도서

 

 

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