"단진자의 주기와 타원적분"의 두 판 사이의 차이

2010년 4월 30일 (금) 15:32 판

단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어짐
\({d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 \)
보통의 경우, \(\theta\)가 0에 매우 가깝다고 가정하고, \(\sin\theta\approx \theta\)의 근사식을 이용하여 다음과 같은 미분방정식을 생각함
\(d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0\)
하지만 이러한 근사를 사용하지 않고 주기를 구하기 위해서는, 타원적분이 필요

단진자의 주기는 다음과 같이 주어짐
\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int^{\theta_0}_0 {1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,d\theta\)
여기서 다음과 같은 치환을 사용하면,
\(\cos\theta-\cos\theta_0=(A\cos\phi)^2\),\(A=\sqrt{1-\cos\theta_0}\)
\(T = 4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2A\sin \phi}{\sqrt{1-A^2\cos^4\phi}}\,d\phi=4\sqrt{\ell\over {2g}}\int_{0}^{1} \frac{2A}{\sqrt{1-A^2 x^4}}\,dx\)

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 <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">간단한 소개</h5>
 *  단진자의 운동을 기술하는 미분방정식은 다음과 같이 주어짐<br><math>{d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell} \sin\theta=0 </math><br>
-*  보통의 경우, <math>\theta</math>가 0에 매우 가깝다고 가정하고 단진동의 문제로 생각함<br><math>d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0</math><br>
+*  보통의 경우, <math>\theta</math>가 0에 매우 가깝다고 가정하고, <math>\sin\theta\approx \theta</math>의 근사식을 이용하여 다음과 같은 미분방정식을 생각함<br><math>d^2\theta\over dt^2}+{g\over \ell}\theta=0</math><br>
 *  하지만 이러한 근사를 사용하지 않고 주기를 구하기 위해서는, [[타원적분(통합됨)|타원적분]]이 필요<br>